Question

如圖，直線AB分別x，y軸正半軸相交于A（a，0）和B（0，b），直線交于y軸與點E，交AB于點F
（1）當a=6，b=6時，求四邊形EOAF的面積
（2）若F為線段AB的中點，且AB=時，求證：∠BEF=∠BAO．

Answer 1

【答案】分析：（1）小題先求出直線AB的解析式，再求出與直線EF的交點F的坐標（2，4），利用面積公式計算即可．（2）小題利用三角形的中位線性質和勾股定理求出a b的值，連接AE，證出AE=BE，進而得到EF⊥AB，利用角之間的關系即可出答案．
解答：（1）解：，
當x=0時，y=3，
∴E（0，3），
設直線AB的解析式是y=kx+b，
把A（6，0），B（0，6）代入y=kx+b得：，
解得：
∴直線AB的函數(shù)關系式是y=-x+6
直線EF和直線AB交于點F，方程組的解是，
∴F（2，4），
S_{四邊形EOAF}=S_△OAB-S_△EFB，
=×6×6-×（6-3）×2，
=15．
所以四邊形EOAF的面積是15．

（2）解：∵F為線段AB的中點，由三角形中位線定理得F（a，b），
又∵F在直線EF：上，
∴×a+3=b，
a=2b-12 ①
又∵AB=
∴a²+b²=，
∴（2b-12）²+b²=80，
整理得：5b²-48b+64=0，
解得b₁=，b₂=8，
當b=時，a＜0，不合題意，∴b=（舍去），
當b=8時，a=4
∴A（4，0）B（0，8），
∴OE=3，BE=5
連接EA，在RT△OAE中，OE=3，OA=4，
∴EA=5
∴EA=BE=5
∴△BEA是等腰三角形，
又∵F為線段AB的中點
∴EF⊥AB，
∴∠BEF=90°-∠EBF，
∠BAO=90°-∠OBA，
∵∠EBF=∠OBA
∴∠BEF=∠BAO．
點評：解本題的關鍵是能靈活運用一次函數(shù)的性質，能根據(jù)點的坐標求解析式，或利用解析式求特殊點的坐標，進一步求出線段長，再根據(jù)求出條件證明幾何問題，