如圖1和如圖2，四邊形ABCD是菱形，P是對(duì)角線BD上一點(diǎn)，以點(diǎn)P為圓心，PC為半徑畫弧，交CB（或延長線）于點(diǎn)F，連結(jié)PF，PA，PC．
（1）如圖1，當(dāng)P是BD的中點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)直接寫出PF和PA的數(shù)量關(guān)系：
PF=PA
PF=PA
；
（2）如圖2，當(dāng)P不是BD的中點(diǎn)時(shí)，
①求證：PF=PA；
②若∠BCD=50°，直接寫出∠APF的度數(shù)為
50°
50°
．
分析：（1）根據(jù)菱形的對(duì)角線互相垂直且平分可得PF=PA；
（2）①根據(jù)同圓的半徑相等，可得出結(jié)論；
②點(diǎn)A、F、C共圓，則可得∠APF=2∠ACF，再由菱形的對(duì)角線平分一組對(duì)角，可得∠APF=∠BCD．
解答：解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，P是BD中點(diǎn)，
∴PA=PC=PD；
（2）①∵PA、PF是所畫圓的半徑，
∴PF=PA；
②由題意得，點(diǎn)A、F、C共圓，如圖2所示：
，
則∠APF=2∠ACF，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠BCD=2∠ACF，
∴∠APF=∠BCD=50°．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了菱形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是掌握菱形的對(duì)角線互相垂直且平分，對(duì)角線平分一組對(duì)角的性質(zhì)．
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相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)處，按逆時(shí)針方向各寫一個(gè)數(shù)：2，0，0，1，然后取各邊的中點(diǎn)，并在各中點(diǎn)處寫上其所在邊兩端點(diǎn)處的兩個(gè)數(shù)的平均值．這四個(gè)中點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)新的正方形，又在這個(gè)新的正方形四邊中點(diǎn)處寫上其所在邊兩個(gè)端點(diǎn)處的兩個(gè)數(shù)的平均值．連續(xù)這樣做到第十個(gè)正方形，則圖上寫出的所有數(shù)的和
 
．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）如圖1，在△ABC中，若E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，則EF與AC的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系分別為：
 
；
（2）如圖2，任意四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是四條邊的中點(diǎn)，則四邊形EFGH的形狀是
 
，并說明理由；
（3）若四邊形ABCD是矩形，則連接其四邊中點(diǎn)E、F、G、H，則四邊形EFGH的形狀是
 
，若四邊形ABCD是菱形，連接其四邊中點(diǎn)E、F、G、H，則四邊形EFGH的形狀是
 
；
（4）圖2中，若四邊形．EFGH是矩形，則四邊形ABCD應(yīng)滿足的條件是
 
．
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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在正方形ABCD中，E是CD邊上的中點(diǎn)，AC與BE相交于點(diǎn)F，連接DF.(注：正方形的四邊相等，四個(gè)角都是直角，每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角).  
【小題1】(1) 在不增加點(diǎn)和線的前提下,直接寫出圖中所有的全等三角形;
【小題2】連接AE,試判斷AE與DF的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
【小題3】延長DF交BC于點(diǎn)M,試判斷BM與MC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由。

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

（1）如圖1，在△ABC中，若E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，則EF與AC的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系分別為：______；
（2）如圖2，任意四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是四條邊的中點(diǎn)，則四邊形EFGH的形狀是______，并說明理由；
（3）若四邊形ABCD是矩形，則連接其四邊中點(diǎn)E、F、G、H，則四邊形EFGH的形狀是______，若四邊形ABCD是菱形，連接其四邊中點(diǎn)E、F、G、H，則四邊形EFGH的形狀是______；
（4）圖2中，若四邊形．EFGH是矩形，則四邊形ABCD應(yīng)滿足的條件是______．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：第3章《圓》中考題集（50）：3.5 直線和圓的位置關(guān)系（解析版） 題型：解答題

如圖1，已知正方形ABCD的邊長為，點(diǎn)M是AD的中點(diǎn)，P是線段MD上的一動(dòng)點(diǎn)（P不與M，D重合），以AB為直徑作⊙O，過點(diǎn)P作⊙O的切線交BC于點(diǎn)F，切點(diǎn)為E．
（1）除正方形ABCD的四邊和⊙O中的半徑外，圖中還有哪些相等的線段（不能添加字母和輔助線）；
（2）求四邊形CDPF的周長；
（3）延長CD，F(xiàn)P相交于點(diǎn)G，如圖2所示．是否存在點(diǎn)P，使BF•FG=CF•OF？如果存在，試求此時(shí)AP的長；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

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