Question

某文具店準備購進甲，乙兩種鋼筆，若購進甲種鋼筆100支，乙種鋼筆50支，需要1000元，若購進甲種鋼筆50支，乙種鋼筆30支，需要550元．
（1）求購進甲，乙兩種鋼筆每支各需多少元？
（2）若該文具店準備拿出1000元全部用來購進這兩種鋼筆，考慮顧客需求，要求購進甲中鋼筆的數量不少于乙種鋼筆數量的6倍，且不超過乙種鋼筆數量的8倍，那么該文具店共有幾種進貨方案？
（3）若該文具店銷售每支甲種鋼筆可獲利潤2元，銷售每支乙種鋼筆可獲利潤3元，在第（2）問的各種進貨方案中，哪一種方案獲利最大？最大利潤是多少元？

Answer 1

（1）設購進甲，乙兩種鋼筆每支各需a元和b元，根據題意得：

100a+50b=1000 50a+30b=550

，
解得：

a=5 b=10

，
答：購進甲，乙兩種鋼筆每支各需5元和10元；

（2）設購進甲鋼筆x支，乙鋼筆y支，根據題意可得：

5x+10y=1000 6y≤x≤8y

，
解得：20≤y≤25，
∵x，y為整數，
∴y=20，21，22，23，24，25共六種方案，
∵5x=1000-10y＞0，
∴0＜y＜100，
∴該文具店共有6種進貨方案；

（3）設利潤為W元，則W=2x+3y，
∵5x+10y=1000，
∴x=200-2y，
∴代入上式得：W=400-y，
∵W隨著y的增大而減小，
∴當y=20時，W有最大值，最大值為W=400-20=380（元）．