Question

已知在△ABC中，∠A=45°，AB=7，，動(dòng)點(diǎn)P、D分別在射線AB、AC上，且∠DPA=∠ACB，設(shè)AP=x，△PCD的面積為y．
（1）求△ABC的面積；
（2）如圖，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P、D分別在射線AB、AC上時(shí)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出函數(shù)的定義域；
（3）如果△PCD是以PD為腰的等腰三角形，求線段AP的長(zhǎng)．

Answer 1

解：（1）作CH⊥AB，垂足為點(diǎn)H，設(shè)CH=m；
∵，∴
∵∠A=45°，∴AH=CH=m
∴；
∴m=4；
∴△ABC的面積等于；

（2）∵AH=CH=4，
∴
∵∠DPA=∠ACB，∠A=∠A，
∴△ADP∽△ABC；
∴，即
∴；
作PE⊥AC，垂足為點(diǎn)E；
∵∠A=45°，AP=x，
∴；
∴所求的函數(shù)解析式為，即；
當(dāng)D到C時(shí)，AP最大．
∵△CPA∽△BCA
∴=
∴AP==，
∴定義域?yàn)?＜x＜；

（3）由△ADP∽△ABC，得，即；
∴；
∵△PCD是以PD為腰的等腰三角形，
∴有PD=CD或PD=PC；
（i）當(dāng)點(diǎn)D在邊AC上時(shí)，
∵∠PDC是鈍角，只有PD=CD
∴；
解得；
（ii）當(dāng)點(diǎn)D在邊AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，，
如果PD=CD，那么
解得x=16
如果PD=PC，那么
解得x₁=32，（不符合題意，舍去）
綜上所述，AP的長(zhǎng)為，或16，或32．
分析：（1）過(guò)C作CH⊥AB于H，在Rt△ACH、Rt△CHB中，分別用CH表示出AH、BH的長(zhǎng)，進(jìn)而由AB=AH+BH=7求出CH的長(zhǎng)，即可得到AH、BH的長(zhǎng)，由三角形的面積公式可求得△ABC的面積；
（2）由∠DPA=∠ACB，可證得△DPA∽△BCA，根據(jù)相似三角形得出的成比例線段可求得AD的表達(dá)式，進(jìn)而可得到CD的長(zhǎng)；過(guò)P作PE⊥AC于E，根據(jù)AP的長(zhǎng)及∠A的度數(shù)即可求得PE的長(zhǎng)；以CD為底、PE為高即可求得△PCD的面積，由此可得出y、x的函數(shù)關(guān)系；
求自變量取值的時(shí)，關(guān)鍵是確定AP的最大值，由于P、D分別在線段AB、AC上，AP最大時(shí)D、C重合，可根據(jù)相似三角形得到的比例線段求出此時(shí)AP的長(zhǎng)，由此可得到x的取值范圍；
（3）在（2）題中，已證得△ADP∽△ABC，根據(jù)相似三角形得到的比例線段，可得到PD的表達(dá)式；若△PDC是以PD為腰的等腰三角形，則可分兩種情況：PD=DC或PD=PC；
①如果D在線段AC上，此時(shí)∠PDC是鈍角，只有PD=DC這一種情況，聯(lián)立兩條線段的表達(dá)式，即可求得此時(shí)x的值；
②如果D在線段AC的延長(zhǎng)線上，可根據(jù)上面提到的兩種情況，分別列出關(guān)于x的等量關(guān)系式，即可求得x的值．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了解直角三角形、相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、二次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)，同時(shí)還考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，難度較大．