Question

閱讀下列因式分解的過程，再回答所提出的問題：
1+x+x（x+1）+x（x+1）²=（1+x）[1+x+x（x+1）]
=（1+x）²（1+x）=（1+x）³
（1）上述因式分解得方法是

提取公因式

法，共應(yīng)用了

2

次，
（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）²+…+x（x+1）²⁰¹²，則需要應(yīng)用上述方法

2012

次，分解因式后的結(jié)果是

（1+x）²⁰¹³

．（3）請用以上的方法分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）²+…+x（x+1）ⁿ，（其中n為正整數(shù)），必須有具體過程．
解：1+x+x（x+1）+x（x+1）²+…+x（x+1）ⁿ
=

Answer 1

分析：（1）把（1+x）看作整體，提取公因式，觀察得出提取公因式的次數(shù)；
（2）根據(jù)（1）得出提取公因式的次數(shù)及結(jié)果；
（3）根據(jù)（1）（2）算式最后一項的次數(shù)，得出提取公因式的次數(shù)及結(jié)果的次數(shù)．

解答：解：（1）由因式分解的過程可知，因式分解的方法是提取公因式法，提取了2次，
故答案為：提取公因式，2；

（2）（1）的算式最后一項（1+x）的次數(shù)為2，結(jié)果的次數(shù)為3，
故分解1+x+x（x+1）+x（x+1）²+…+x（x+1）²⁰¹²，需要提公因式2012次，結(jié)果為（x+1）²⁰¹³，
故答案為：2012，（x+1）²⁰¹³；

（3）1+x+x（x+1）+x（x+1）²+…+x（x+1）ⁿ=（1+x）[1+x+x（x+1）+x（x+1）²+…+x（x+1）^n-1]
=（1+x）²[1+x+x（x+1）+x（x+1）²+…+x（x+1）^n-2]
=（1+x）ⁿ⁺¹．

點評：本題考查了因式分解的方法-提取公因式法．關(guān)鍵是通過連續(xù)提公因式，得出提公因式的次數(shù)，結(jié)果的次數(shù)的關(guān)系．