Question

（2006•萊蕪）半徑為2.5的⊙O中，直徑AB的不同側(cè)有定點(diǎn)C和動(dòng)點(diǎn)P．已知BC：CA=4：3，點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)C作CP的垂線，與PB的延長線交于點(diǎn)Q．
（1）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C關(guān)于AB對稱時(shí)，求CQ的長；
（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到的中點(diǎn)時(shí)，求CQ的長；
（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，CQ取到最大值？求此時(shí)CQ的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）如果點(diǎn)P與點(diǎn)C關(guān)于AB對稱，根據(jù)垂徑定理可得出CP⊥AB，在直角三角形ABC中，根據(jù)△ABC面積的不同表示方法可求出CD的長，即可得出PC的值，進(jìn)而可通過相似三角形△PQC和△ABC（∠A=∠P，一組直角）求出CQ的長．
（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到弧AB的中點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)B作BE⊥PC于點(diǎn)E（如圖）；由于P是弧AB的中點(diǎn)，由圓周角定理得∠ACP=∠PCB=45°，由△CEB是等腰直角三角形，可得CE=BE=BC=2；又由圓周角定理得∠CPB=∠CAB，由正切的概念知tan∠CPB=tan∠CAB==BE：PE，得到PE=BE=進(jìn)而求得PC，而從（1）中得，CQ=PC=．
（3）如果CQ去最大值，那么PC也應(yīng)該取最大值，因此當(dāng)PC是圓O的直徑時(shí)，CQ才取最大值．此時(shí)PC為5，可根據(jù)上面得出的PC、CQ的比例關(guān)系求出CQ的長．
解答：解：（1）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C關(guān)于AB對稱時(shí)，CP⊥AB，設(shè)垂足為D．
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°．
∴AB=5，又∵BC：CA=4：3，
∴BC=4，AC=3．
又∵AC•BC=AB•CD
∴CD=，PC=
在Rt△ACB和Rt△PCQ中，
∠ACB=∠PCQ=90°，∠CAB=∠CPQ，
Rt△ACB∽R(shí)t△PCQ
∴，
∴CQ==PC=．

（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到弧AB的中點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)B作BE⊥PC于點(diǎn)E（如圖）．
∵P是弧AB的中點(diǎn)，
∴∠PCB=45°，CE=BE=BC=2
又∠CPB=∠CAB
∴tan∠CPB=tan∠CAB=
∴PE=BE=，PC=
而從（1）中得，CQ=PC=．

（3）點(diǎn)P在弧AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，恒有CQ==PC；
故PC最大時(shí)，CQ取到最大值．
當(dāng)PC過圓心O，即PC取最大值5時(shí)，CQ最大值為．
點(diǎn)評：本題屬于常規(guī)的幾何綜合題，利用了直角三角形的面積公式，相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，正切的概念求解．解第3小問時(shí)要有動(dòng)態(tài)的思想（在草稿上畫畫圖）不難猜想出結(jié)論．