Question

水務(wù)部門為加強防汛工作，決定對程家山水庫進行加固．原大壩的橫斷面是梯形ABCD，如圖所示，已知迎水面AB的長為10米，∠B=60°，背水面DC的長度為10

3

米，加固后大壩的橫斷面為梯形ABED．若CE的長為5米．
（1）已知需加固的大壩長為100米，求需要填方多少立方米；
（2）求新大壩背水面DE的坡度．（計算結(jié)果保留根號）

Answer 1

分析：（1）分別過A、D作下底的垂線，設(shè)垂足為F、G．
在Rt△ABF中，已知坡面長和坡角的度數(shù)，可求得鉛直高度AF的值，也就得到了DG的長；以CE為底，DG為高即可求出△CED的面積，再乘以大壩的長度，即為所需的填方體積；
（2）在Rt△CDG中，由勾股定理求CG的長，即可得到GE的長；Rt△DEG中，根據(jù)DG、GE的長即可求得坡角的正切值，即坡面DE的坡比．

解答：解：（1）分別過A、D作AF⊥BC，DG⊥BC，垂點分別為F、G，如圖所示．
在Rt△ABF中，AB=10米，∠B=60°，
sin∠B=

AF

AB

，
∴AF=10×

3

2

=5

3

，
DG=5

3

．
∴S_△DCE=

1

2

×CE×DG=

1

2

×5×5

3

=

25

2

3

．
需要填方：100×

25

2

3

=1250

3

（立方米）；

（2）在直角三角形DGC中，DC=10

3

，
∴GC=

DC2-DG2

=

(10 3 )2-(5 3 )2

=15，
∴GE=GC+CE=20，
坡度i=

DG

GE

=

5 3

20

=

3

4

．
答：（1）需要土石方1250

3

立方米．（2）背水坡坡度為

3

4

．

點評：此題主要考查學(xué)生對坡度坡角的掌握及三角函數(shù)的運用能力．