問(wèn)題探究：
（1）如圖1，在邊長(zhǎng)為3的正方形ABCD內(nèi)（含邊）畫(huà)出使∠BPC=90°的一個(gè)點(diǎn)P，保留作圖痕跡；
（2）如圖2，在邊長(zhǎng)為3的正方形ABCD內(nèi)（含邊）畫(huà)出使∠BPC=60°的所有的點(diǎn)P，保留作圖痕跡并簡(jiǎn)要說(shuō)明作法；
（3）如圖3，已知矩形ABCD，AB=3，BC=4，在矩形ABCD內(nèi)（含邊）畫(huà)出使∠BPC=60°，且使△BPC的面積最大的所有點(diǎn)P，保留作圖痕跡．

【答案】分析：（1）正方形對(duì)角線的交點(diǎn)符合點(diǎn)P的要求，作對(duì)角線即可；
（2）①以BC為邊在正方形內(nèi)作等邊△BCQ；
②作△BCQ的外接圓⊙O，分別與AB、DC交于點(diǎn)M、N，由于在⊙O中，弦BC所對(duì)的圓周角均為60°，所上的所有點(diǎn)均為所求的點(diǎn)P．
（3）以BC為邊作等邊△BCQ；作等邊△QBC的外接圓⊙O與AD交于點(diǎn) P1、P2，點(diǎn)P1、P2即為所求．
解答：解：（1）如圖1，畫(huà)出對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)即為點(diǎn)P．               
注：以BC為直徑作上半圓（不含點(diǎn)B、C），則該半圓上的任意一點(diǎn)即可．

（2）如圖2，以BC為一邊作等邊△QBC，作△QBC的外接圓⊙O分別與AB，DC交于點(diǎn) M、N，弧MN即為點(diǎn)P的集合．     

（3）如圖3，以BC為一邊作等邊△QBC，
作△QBC的外接圓⊙O與AD交于點(diǎn) P1、P2，點(diǎn)P1、P2即為所求．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了應(yīng)用設(shè)計(jì)與作圖，綜合利用正方形的性質(zhì)和同圓中同弧所對(duì)的圓周角相等得知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．
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相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

問(wèn)題探究：
（1）如圖①所示是一個(gè)半徑為
3
2π
，高為4的圓柱體和它的側(cè)面展開(kāi)圖，AB是圓柱的一條母線，一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)沿圓柱的側(cè)面爬行一周到達(dá)B點(diǎn)，求螞蟻爬行的最短路程．（探究思路：將圓柱的側(cè)面沿母線AB剪開(kāi)，它的側(cè)面展開(kāi)圖如圖①中的矩形ABB′A′，則螞蟻爬行的最短路程即為線段AB′的長(zhǎng)）；
（2）如圖②所示是一個(gè)底面半徑為
2
3
，母線長(zhǎng)為4的圓錐和它的側(cè)面展開(kāi)圖，PA是它的一條母線，一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)沿圓錐的側(cè)面爬行一周后回到A點(diǎn)，求螞蟻爬行的最短路程；
（3）如圖③所示，在②的條件下，一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)沿圓錐的側(cè)面爬行一周到達(dá)母線PA上的一點(diǎn)，求螞蟻爬行的最短路程．
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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•昌平區(qū)一模）問(wèn)題探究：
（1）如圖1，在邊長(zhǎng)為3的正方形ABCD內(nèi)（含邊）畫(huà)出使∠BPC=90°的一個(gè)點(diǎn)P，保留作圖痕跡；
（2）如圖2，在邊長(zhǎng)為3的正方形ABCD內(nèi)（含邊）畫(huà)出使∠BPC=60°的所有的點(diǎn)P，保留作圖痕跡并簡(jiǎn)要說(shuō)明作法；
（3）如圖3，已知矩形ABCD，AB=3，BC=4，在矩形ABCD內(nèi)（含邊）畫(huà)出使∠BPC=60°，且使△BPC的面積最大的所有點(diǎn)P，保留作圖痕跡．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2011•臨川區(qū)模擬）問(wèn)題背景：如圖1，四邊形ABCD和CEFG都是正方形，B，C，E在同一條直線上，連接BG，DE．
問(wèn)題探究：
（1）①如圖1所示，當(dāng)G在CD邊上時(shí)，猜想線段BG、DE的數(shù)量關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系．（不要求證明）
②將圖1中的正方形CEFG繞著點(diǎn)C按順時(shí)針（或逆時(shí)針）方向旋轉(zhuǎn)任意角度α，得到如圖2，如圖3情形．請(qǐng)你通過(guò)觀察、測(cè)量等方法判斷①中得到的結(jié)論是否仍然成立，請(qǐng)選擇圖2或圖3證明你的判斷．
類(lèi)比研究：
（2）若將原題中的“正方形”改為“矩形”（如圖4所示），且
AB
BC
=
CE
CG
=k（其中k＞0），請(qǐng)直接寫(xiě)出線段BG、DE的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系．請(qǐng)選擇圖5或圖6證明你的判斷．
拓展應(yīng)用：
（3）在（1）中圖2中，連接DG、BE，若AB=3，EF=2，求BE2+DG2的值．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

問(wèn)題探究：
（1）如圖1，在⊙O中，AB是直徑，CD⊥AB于點(diǎn)E，AE=a，EB=b．計(jì)算CE的長(zhǎng)度（用a、b的代數(shù)式表示）．
（2）如圖2，請(qǐng)你在邊長(zhǎng)分別為a、b（a＞b）的矩形ABCD的邊AD上找一點(diǎn)M，使得線段CM=
ab
（保留作圖痕跡）．
問(wèn)題解決：
（3）請(qǐng)你在（2）中結(jié)論的基礎(chǔ)上，在圖3中對(duì)矩形ABCD進(jìn)行拆分并拼接為一個(gè)與其面積相等的正方形．并探究你所畫(huà)出拼成的正方形的面積是否存在最大值和最小值？若存在，求出這個(gè)最大值和最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

問(wèn)題情境：
學(xué)生生物小組有一塊長(zhǎng)30m，寬20m的矩形ABCD試驗(yàn)田，為了管理方便，準(zhǔn)備沿平行于兩邊的方向縱、橫各開(kāi)辟一條等寬的小道如圖1，要使種植面積為504m2．

問(wèn)題探究：
（1）如圖1，小道的寬應(yīng)設(shè)計(jì)為多少m？
（2）若設(shè)計(jì)者將圖1中縱向小道變成如圖2所示的一條與橫向小道等寬的小道，請(qǐng)你說(shuō)明兩小道重疊部分四邊形EFGO是什么特殊的四邊形？此時(shí)種植面積
變化
變化
（填變化或不變）
（3）若設(shè)計(jì)者將圖1中小道邊交叉點(diǎn)O落在矩形ABCD的對(duì)角線BD上，并建立如圖3所示的直角坐標(biāo)系，且滿足OM=ON，請(qǐng)你求出點(diǎn)A的坐標(biāo)及過(guò)點(diǎn)C的反比例函數(shù)的關(guān)系式．

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