Question

如圖，直線(xiàn)l：y=

3

2

x+3交x軸、y軸于A、B點(diǎn)，四邊形ABCD為等腰梯形，BC∥AD，D點(diǎn)坐標(biāo)為（6，0）．
（1）求：A、B、C點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）若直線(xiàn)l沿x軸正方向平移m個(gè)（m＞0）單位長(zhǎng)度，與AD、BC分別交于N、M點(diǎn)，當(dāng)四邊形ABMN的面積為12個(gè)單位面積時(shí)，求平移后的直線(xiàn)的解析式；
（3）如果B點(diǎn)沿BC方向，從B到C運(yùn)動(dòng)，速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，A點(diǎn)同時(shí)沿AD方向，從A到D運(yùn)動(dòng)，速度為每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度，經(jīng)過(guò)t秒的運(yùn)動(dòng)，A到達(dá)A′處，B到達(dá)B′處，問(wèn)：是否能使得A′B′平分∠BB′D？若能，請(qǐng)求出t的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)閥=

3

2

x+3交x軸、y軸于A、B點(diǎn)，所以分別令y=0，x=0，即可求出A、B點(diǎn)的坐標(biāo)；又因四邊形ABCD為等腰梯形，BC∥AD，D點(diǎn)坐標(biāo)為（6，0），所以C的縱坐標(biāo)為3，利用等腰梯形的軸對(duì)稱(chēng)性，結(jié)合A、D的坐標(biāo)可知對(duì)稱(chēng)軸為x=2，又因B（0，3），所以C的橫坐標(biāo)為2+2=4；
（2）因?yàn)橹本�(xiàn)l沿x軸正方向平移m個(gè)（m＞0）單位長(zhǎng)度與AD、BC分別交于N、M點(diǎn)，利用平移的性質(zhì)可知AB∥MN，所以四邊形ABMN為平行四邊形，因此S_?ABMN=BO•m，即3m=12，解之可得m=4，所以平移后的直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)（2，0），又因AB∥MN，所以可設(shè)平移后的直線(xiàn)為y=

3

2

x+b，結(jié)合直線(xiàn)過(guò)（2，0），即可求出b，求出答案；
（3）可設(shè)經(jīng)過(guò)t秒的運(yùn)動(dòng)，能使設(shè)A′B′平分∠BB′D，這時(shí)B′點(diǎn)坐標(biāo)為（2t，3），A′點(diǎn)坐標(biāo)為（3t-2，0），因?yàn)锽C∥AD，利用兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠BB′A′=∠B′A′D，又因?yàn)椤螧B′A′=∠A′B′D，所以∠A′B′D=∠B′A′D，利用等角對(duì)等邊可得A′D=B′D，利用兩點(diǎn)間的距離公式可得（8-3t）²=（6-2t）²+9，解之求出t的值，再結(jié)合t的取值范圍決定取舍即可．

解答：解：（1）A（-2，0），B（0，3），C（4，3）；

（2）∵直線(xiàn)l沿x軸正方向平移m個(gè)（m＞0）單位長(zhǎng)度與AD、BC分別交于N、M點(diǎn)，
∴AB∥MN，
∴四邊形ABMN為平行四邊形，
∴面積：S_?ABMN=BO•m，
即3m=12m=4，
∴平移后的直線(xiàn)為y=

3

2

x-3；

（3）如圖，設(shè)經(jīng)過(guò)t秒的運(yùn)動(dòng)，能使設(shè)A′B′平分∠BB′D，
這時(shí)B′點(diǎn)坐標(biāo)為（2t，3），A′點(diǎn)坐標(biāo)為（3t-2，0），
∵BC∥AD，
∴∠1=∠3，
又∵∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴A′D=B′D，
即（8-3t）²=（6-2t）²+9，
整理得：5t²-24t+19=0，
∴t=1或t=

19

5

，
∴當(dāng)t=

19

5

時(shí)，BB′=

19

5

×2＞4，
∵當(dāng)t=1時(shí)，BB′=1×2＜4，AA′=1×3＜8，
∴當(dāng)t=1秒時(shí)，A′B′平分∠BB′D．

點(diǎn)評(píng)：本題需借助數(shù)形結(jié)合、利用方程來(lái)解決問(wèn)題．