Question

如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（0，2），點P是x軸上一動點，以線段AP為一邊，在其一側(cè)作等邊三角線APQ．當點P運動到原點O處時，記Q的位置為B．
（1）求點B的坐標；
（2）求證：當點P在x軸上運動（P不與O重合）時，∠ABQ為定值；

（3）是否存在點P，使得以A、O、Q、B為頂點的四邊形是梯形？若存在，請求出P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）B（）．

（2）當點P在x軸上運動（P不與Q重合）時，∠ABQ為定值90°．
（3）P的坐標為（）或（）．

(1)因為OA=2，△AOB為等邊三角形，所以B的坐標為（√3,1）.
（2）因為∠PAQ和∠OAB都是60º，所以∠PAO=∠QAB，△PAQ和△OAB都是等邊三角形，所以PA=QA，OA=BA，所以△PAO≌△QAB，所以∠ABQ=∠AOP=90º,所以為定值.
（3）由（2）可知，點Q總在過點B且與AB垂直的直線上，可見AO與BQ不平行．①當點P在x軸負半軸上時，點Q在點B的下方，②當點P在x軸正半軸上時，點Q在點B的上方，根據(jù)這兩種情況分別求出P的坐標