Question

已知，如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（4，0），B（0，8），直線y=2與直線AB交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)D；
（1）求直線AB的解析式；
（2）點(diǎn)E是直線AB上的一個動點(diǎn)，問：在y軸上是否存在點(diǎn)F，使得△DEF為等腰直角三角形？若存在，請求出點(diǎn)E及對應(yīng)的點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)橹本�AB與x軸，y軸分別交于A（4，0），B（0，8）兩點(diǎn)，所以可設(shè)y=kx+b，將A、B的坐標(biāo)代入，利用方程組即可求出答案；
（2）分①當(dāng)∠EDF=90°時，點(diǎn)E與點(diǎn)C重合；②當(dāng)∠DFE=90°時，F(xiàn)D=FE；③當(dāng)∠DEF=90°時，ED=EF；三種情況討論可得使得△DEF為等腰直角三角形時，點(diǎn)E及對應(yīng)的點(diǎn)F的坐標(biāo)．

解答：解：（1）設(shè)直線AB解析式為：y=kx+b，
把A，B的坐標(biāo)代入得

4k+b=0 b=8

，
解得k=-2，b=8．
所以直線AB的解析為：y=-2x+8；

（2）①當(dāng)∠EDF=90°時，點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，E₁（3，2），
FD=CD=3，
∴F₁（0，5）或F₂（0，-1），
②當(dāng)∠DFE=90°時，F(xiàn)D=FE，
令F（0，m），則E(

8-m

2

，m)
FD=|2-m|，F(xiàn)E=|

8-m

2

|
∵FD=FE
∴|2-m|=|

8-m

2

|
解得m=4或m=-4
∴E₂（2，4），F(xiàn)₃（0，4）；
E₃（6，-4），F(xiàn)₄（0，-4）．
③當(dāng)∠DEF=90°時，ED=EF，
由②可得E₂（2，4）時，F(xiàn)₅（0，6），
E₃（6，-4）時，F(xiàn)₆（0，-10），
綜上，當(dāng)E₁（3，2），F(xiàn)₁（0，5）或F₂（0，-1）；
E₂（2，4），F(xiàn)₃（0，4），F(xiàn)₅（0，6）；
E₃（6，-4），F(xiàn)₄（0，-4），F(xiàn)₆（0，-10）時，△DEF為等腰直角三角形．

點(diǎn)評：本題綜合考查了用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式和等腰直角三角形的有關(guān)知識，解決這類問題常用到分類討論、數(shù)形結(jié)合、方程和轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法．