【題目】已知,ABC中,∠ACB90°,ACBC,點EBC上一點,連接AE

1)如圖1,當(dāng)AE平分∠BAC時,EHABH,EHB的周長為10m,求AB的長;

2)如圖2,延長BCD,使DCBC,將線段AE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得線段AF,連接DF,過點BBGBC,交FC的延長線于點G,求證:BGBE

【答案】1AB10m;(2)見解析.

【解析】

1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠B=45°,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到CE=EH=BH,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AH=AC,于是得到結(jié)論;

2)先連接AD,依據(jù)AAS判定△ADF≌△ABE,得到DF=BE,再判定△BCG≌△DCF,得出DF=BG,進而得到BG=BE

解:(1∵∠ACB90°,ACBC

∴∠B45°,

∵AE平分∠BAC時,EH⊥ABH,

∴CEEHBH

Rt△ACERt△AHE中,

,

∴Rt△ACERt△AHEHL),

∴AHAC,

∴AHBC,

∵△EHB的周長為10m

∴ABAH+BHBC+BH10m;

2)如圖所示,連接AD,

線段AE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得線段AF,則AEAF∠EAF90°,

∵AC⊥BD,DCBC

∴ADAB,∠ABE∠ADC45°

∴∠BAD90°∠EAF,

∴∠BAE∠DAF,

∴△ABE≌△ADFSAS),

∴DFBE∠ADF∠ABE45°,

∴∠FDC90°

∵BG⊥BC,

∴∠CBG∠CDF90°,

∵BCDC∠BCG∠DCF,

∴△BCG≌△DCFASA),

∴DFBG,

∴BGBE

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