Question

已知：如圖，等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，且AD=AE=2．若點(diǎn)F從點(diǎn)B開始以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度沿射線BC方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．當(dāng)t＞0時(shí)，直線FD與過點(diǎn)A且平行于BC的直線相交于點(diǎn)G，GE的延長(zhǎng)線與BC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)H，AB與GH相交于點(diǎn)O．
（1）設(shè)△EGA的面積為S，寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，AB⊥GH；
（3）請(qǐng)你證明△GFH的面積為定值；
（4）當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)F和點(diǎn)C是線段BH的三等分點(diǎn)．

Answer 1

解：（1）如圖，
∵GA∥BC
∴
又∵AB=6，AD=2
∴DB=4
∵BF=t
∴=，
∴AG=t
過點(diǎn)E作EK⊥AG，垂足為K
∵∠BCA=60°
∴∠CAK=60°
∴∠AEK=30°
∵AE=2
∴AK=1
∴EK=
∴S=AG•EK=×t×=t；

（2）如圖，連接DE，由AD=AE可知，△ADE為等邊三角形．
∵AB⊥HG
∴AO=OD，∠AEO=∠DEO
∵GA∥DE
∴∠AGE=∠GED
∴AG=AE=2
∴t=2
∴t=4
即當(dāng)t=4時(shí)，AB⊥HG；

（3）∵GA∥BC
∴
∴
∵DE∥BC
∴
∴FH=BC
∵△ABC與△GFH的高相等
∴S_△GFH=S_△ABC=×6×3=9
∴不論t為何值，△GFH的面積均為9；

（4）∵BC=FH
∴BF=CH
①當(dāng)點(diǎn)F在線段BC上時(shí)，若點(diǎn)F和點(diǎn)C是線段BH的三等分點(diǎn)，則BF=FC=CH
∵BF=CH
∴BF=FC
∵BC=6
∴BF=FC=3
∴當(dāng)t=3時(shí)，點(diǎn)F和點(diǎn)C是線段BH的三等分點(diǎn)；
②如右圖，當(dāng)點(diǎn)F在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，若點(diǎn)F和點(diǎn)C是線段BH的三等分點(diǎn)，則BC=CF=FH
∵BC=FH
∴BC=CF
∵BC=6
∴CF=6
∴BF=12
∴當(dāng)t=12時(shí)，點(diǎn)F和點(diǎn)C是線段BH的三等分點(diǎn)．
分析：（1）三角形EGA中，底邊AG的長(zhǎng)可通過相似三角形ADG和BDF求出，而AG邊上的高可用AE•sin60°來表示，由此可得出S、t的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)AB⊥GE時(shí)，連接DE，由已知推出三角形ADE是等邊三角形，可得∠AEG=60°，即∠EG=30°，根據(jù)等角對(duì)等邊可得出AG=AE=2，在（1）中已經(jīng)求出了AG的表達(dá)式，根據(jù)得出的等量關(guān)系即可求出t的值；
（3）本題只需證FH是定值即可；
（4）本題要分兩種情況：
①點(diǎn)F在C點(diǎn)左側(cè)時(shí)，如果F、C是BH的三點(diǎn)分點(diǎn)，那么F必為BC的中點(diǎn)，因此BF=3，由此可求出t的值；
②當(dāng)點(diǎn)F在C點(diǎn)右側(cè)時(shí)，同①可知：BF=2BC=12，由此可求出t的值．
點(diǎn)評(píng)：主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用．