Question

已知△ABC中，AB=10，AC=6，BC=8，若三條內角平分線交于點O，OG⊥AB于G，則AG的長度為________．

Answer 1

4
分析：利用勾股定理逆定理判定△ABC是以∠C為直角的三角形，再根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得點O到三邊的距離相等，然后利用△ABC的面積列式求出OG的長度，過點O作OE⊥AC，OF⊥BC，判定四邊形CEOF是正方形，求出CE，再求出AE，然后根據(jù)對稱性可得AG=AE，從而得解．
解答：解：∵6²+8²=100=10²，
∴△ABC是直角三角形，∠C=90°，
∵三條內角平分線交于點O，OG⊥AB，
∴S_△ABC=（AC+BC+AB）•OG=AC•BC，
∴（6+8+10）•OG=6×8，
解得OG=2，
過點O作OE⊥AC，OF⊥BC，
則四邊形CEOF是正方形，
∴CE=OE=OG=2，
∴AG=AE=AC-CE=6-2=4．
故答案為：4．
點評：本題考查了角平分線的性質，勾股定理逆定理的應用，三角形的內心的性質，利用三角形的面積求出OG是解題的關鍵，作出圖形更形象直觀．