Question

【題目】在△ABC中，BC=AC，∠BCA=90°，P為直線AC上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BP于點(diǎn)D，交直線BC于點(diǎn)Q．

（1）如圖1，當(dāng)P在線段AC上時(shí)，求證：BP=AQ；
（2）如圖2，當(dāng)P在線段CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？（不要求寫(xiě)理由）
（3）在（2）的條件下，當(dāng)∠DBA等于多少度時(shí)，存在AQ=2BD？說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】
（1）解：∵∠ACB=∠ADB=90°，∠APD=∠BPC，
∴∠DAP=∠CBP，
在△ACQ和△BCP中： ，
∴△ACQ≌△BCP（ASA）
∴BP=AQ
（2）解：成立
（3）解：由（2）可知，BP=AQ，故要使AQ=2BD，需使BP=2BD，即需AB=AP，就需∠DBA=∠P，結(jié)合∠DBA+∠P=∠BAC=45°可知，只需∠DBA=22.5°即可
【解析】（1）利用ASA可證明△ACQ≌△BCP，從而證出結(jié)論；
（2）畫(huà)出圖形可得結(jié)論；
（3）由（2）知BP=AQ，又AQ=2BD，則BP=2BD，即AB=AP，由等腰三角形的性質(zhì)可得∠DBA=∠P，又∠DBA+∠P=∠BAC=45°，可得出∠DBA的度數(shù).