Question

閱讀與理解題．
閱讀部分：如圖1，△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于D，BD=3，DC=2，求△ABC的面積．
解：將△ADB、△ADC分別沿AB翻折得△ABE、△ACF延長(zhǎng)EB、FC交于點(diǎn)G，易證四邊形AEGF為正方形，設(shè)AD=x，則BG=x-3，CG=x-2，在Rt△BGC中，有BG²+GC²=BC²，即（x-3）²+（x-2）²=5²  整理得x²-5x-6=0，解得x=6（x=-1舍去），進(jìn)而求得S_△ABC=15．
上述問題的解決方法，是將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，通過設(shè)元，建立方程模型，進(jìn)而使問題得到了解決．那么代數(shù)問題能否用幾何的方法解決呢？
理解部分：請(qǐng)?jiān)谌鐖D2Rt△ABC（∠C=90°）中，通過比例線段解方程：

x2+1

+

x2-24x+160

=13．

Answer 1

分析：構(gòu)造直角三角形ABC，∠C=90°，AB=13，BC=12，根據(jù)勾股定理求出BC=5，作出矩形DCNM，D、N分別在AC、BC邊上，M在AB上，使DC=4，AD=1，設(shè)CN=x，NB=y，將原方程變形后得出AM+MB=AB，即

x2+1

+

y2+42

=13，此時(shí)DM與CB平行，利用兩直線平行同位角相等得到兩對(duì)角相等，利用兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的兩三角形相似可得出三角形ADM與三角形ACB相似，由相似得比例，將各自的值代入求出x的值，將x的值代入原方程檢驗(yàn)，即可確定出原無(wú)理方程的解．

解答：解：原方程變形得：

x2+1

+

(x-12)2+42

=13，
設(shè)y=12-x，方程化為：

x2+1

+

y2+42

=13，
構(gòu)造Rt△ABC，∠C=90°，AB=13，BC=12，
根據(jù)勾股定理得：AC=

132-122

=5，
作出矩形DCNM，D、N分別在AC、BC邊上，M在AB上，使DC=4，AD=1，
設(shè)CN=x，NB=y，
在Rt△ADM中，AD=1，DM=CN=x，
根據(jù)勾股定理得：AM=

AD2+DM2

=

x2+1

；
在Rt△MNB中，MN=DC=4，NB=y，
根據(jù)勾股定理得：MB=

MN2+NB2

=

y2+42

，
則AM+MB=AB，即

x2+1

+

y2+42

=13，
此時(shí)DM∥CB，
則△ADM∽△ACB，
則

AD

AC

=

DM

CB

，即

1

5

=

x

12

，
解得x=

12

5

，
經(jīng)檢驗(yàn)，x=

12

5

是原方程的解．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似形綜合題，涉及的知識(shí)有：相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，矩形的性質(zhì)，以及平行線的性質(zhì)，解題思路為：將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，通過設(shè)元，建立方程模型，進(jìn)而使問題得到了解決．