Question

敘述并證明圓周角定理．

敘述：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半．

已知：∠BAC是圓O的圓周角，∠BOC是圓O的圓心角．

求證：．

Answer 1

答案：略
解析：

圓周角和圓心角有如下三種位置關(guān)系：如圖(1)、(2)、(3)所示．圖中顯示圓周角與圓心角的三種位置關(guān)系．在(1)中，圓心在∠BAC的一邊上；在(2)中，圓心在∠BAC內(nèi)；在(3)中，圓心在∠BAC外．對(duì)于這三神情況，能否找到一種統(tǒng)一的證明方法？ 要找到一種統(tǒng)一的證明方法是困難的．我們來分析各種情況及它們之間的關(guān)系．圖(1)是一種比較特殊的情況，∠BOC是△AOC的外角，因?yàn)?/FONT>OA=OC，所以∠BOC=∠A＋∠OCA=2∠A，從而．這里證明比較容易，關(guān)鍵在于圓心在圓周角的一條邊上． 圖(2)的圓心在圓周角內(nèi)，這是它與圖(1)的不同點(diǎn)．我們能否讓圓心在某個(gè)圓周角上，把圖(2)轉(zhuǎn)化成圖(1)呢？觀察可知，過A作圓O的直徑AD就能達(dá)到轉(zhuǎn)化的目的，應(yīng)用圖(1)的結(jié)論，我們得到 ． 應(yīng)用類似方法于圖(3)． 作圓O的直徑AD，則 ． 證明：分三種情況討論． (1)圖中，圓心O在∠BAC的一邊上． ． (2)圖中，圓心O在∠BAC的內(nèi)部，作直徑AD． 利用(1)的結(jié)果，有 ， (3)圖中，圓心O在∠BAC的外部，作直徑AD． 利用(1)的結(jié)果，有 ．