Question

閱讀下列材料，并回答問題．
畫一個(gè)直角三角形，使它的兩條直角邊分別為5和12，那么我們可以量得直角三角形的斜邊長為13，并且5²+12²=13²．事實(shí)上，在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊的平方之和一定等于斜邊的平方．如果直角三角形中，兩直角邊長分別為a、b，斜邊長為c，則a²+b²=c²，這個(gè)結(jié)論就是著名的勾股定理．
請(qǐng)利用這個(gè)結(jié)論，完成下面的活動(dòng)：
（1）一個(gè)直角三角形的兩條直角邊分別為6、8，那么這個(gè)直角三角形斜邊長為

10

．
（2）滿足勾股定理方程a²+b²=c²的正整數(shù)組（a，b，c）叫勾股數(shù)組．例如（3，4，5）就是一組勾股數(shù)組．觀察下列幾組勾股數(shù)
①3，4，5； ②5，12，13； ③7，24，25；④9，40，41；
請(qǐng)你寫出有以上規(guī)律的第⑤組勾股數(shù)：

11，60，61

．
（3）如圖，AD⊥BC于D，AD=BD，AC=BE．AC=3，DC=1，求BD的長度．

（4）如圖，點(diǎn)A在數(shù)軸上表示的數(shù)是

-

5

，請(qǐng)用類似的方法在下圖數(shù)軸上畫出表示數(shù)

3

的B點(diǎn)（保留作圖痕跡）．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)“在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊的平方之和一定等于斜邊的平方”，可得出這個(gè)直角三角形斜邊長；
（2）先找出勾股數(shù)的規(guī)律：①以上各組數(shù)均滿足a²+b²=c²；②最小的數(shù)（a）是奇數(shù)，其余的兩個(gè)數(shù)是連續(xù)的正整數(shù)；③最小奇數(shù)的平方等于另兩個(gè)連續(xù)整數(shù)的和，
如3²=9=4+5，5²=25=12+13，7²=49=24+25，9²=81=40+41…，由以上特點(diǎn)我們可第⑤組勾股數(shù)：11²=121=60+61；
（3）根據(jù)勾股定理先求得AD，再證明△ACD≌△BED，從而得出BD的長度．
（4）由勾股定理得出矩形的對(duì)角線的長，再由點(diǎn)A的位置可得出點(diǎn)A所表示的數(shù)，再以2，1分別為斜邊和直角邊，且另一直角邊為

3

．

解答：解：（1）

62+82

=10…（2分）；

（2）第5組勾股數(shù)為：11，60，61…（2分）

（3）∵AD⊥BC
∴∠ADC=∠BDE=90°
在Rt△ADC和Rt△BDE中

AD=BD AC=BE

∴Rt△ADC≌Rt△BDE…（2分）
∴AD=BD
∵AD²+CD²=AC²
∴AD²=AC²-CD²=9-1=8…（2分）
∴AD=

8

∴BD=

8

…（2分）
（4）-

5

…（2分），圖略（正確標(biāo)出點(diǎn)B）…（2分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理、直角三角形的全等，勾股數(shù)以及勾股定理的應(yīng)用．