Question

如圖，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，線段EF在對角線AC上，EG⊥AD，FH⊥BC，垂足分別是G，H，且EG+FH=EF．
（1）求線段EF的長；
（2）設EG=x，△AGE與△CFH的面積和為S，寫出S關于x的函數關系式及自變量x的取值范圍，并求出S的最小值．

Answer 1

解：（1）∵EG⊥AD，CD⊥AD，
∴EG∥CD，
∴△AGE∽△ADC．
∴=，
∵AD=4，CD=3，
∴AC==5，
∴AE=EG，
同理可得；CF=FH，
∵AE+CF+EF=5，EG+FH=EF，
∴EF+EF=5
EF=，

（2）∵△AGE∽△ADC，
∴=，
∴AG=EG=x，
同理可得：CH=FH=（-x）
∴S=•x•x+•（-x）²=x²-x+（0＜x＜），
S_最小值==．
分析：（1）根據EG⊥AD，CD⊥AD，得出△AGE∽△ADC，=，求出AC，AE=EG，同理可得；CF=FH，再根據AE+CF+EF=5，EG+FH=EF，得出EF+EF=5，EF=，
（2）根據△AGE∽△ADC，=，得出AG=EG=x，同理可得：CH=FH=（-x），再根據S=•x•x+•（-x）²然后進行整理即可求出最大值．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質，關鍵是根據相似三角形的判定與性質列出比例式，求出線段的長度．