Question

如圖，

AB

=

BD

，當(dāng)∠ABD=60°時(shí)，點(diǎn)E是圓O上任意一點(diǎn)，連接AE、BE、DE，求AE、BE、DE之間的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

考點(diǎn)：圓心角、弧、弦的關(guān)系,全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì),圓周角定理

專題：

分析：猜想：BE=AE+DE，連結(jié)AD，延長AE使EF=ED，連接DF，先證明△DEF是等邊三角形，再通過構(gòu)建全等三角形來求解．

解答：解：BE=AE+DE．理由如下：
如圖，連結(jié)AD，延長AE使EF=ED，連接DF，
∵∠ABD=60°，∠AED=120°，
∴∠DEF=60°，
∵

AB

=

BD

，
∴∠DEB=60°，
∴∠DBE=∠DAE，
∴△DEF是等邊三角形，
∴∠F=60°=∠BED，
在△DAF和△BDE中，

∠DAF=∠DBE ∠F=∠BED DF=DE

，
∴△DAF≌△BDE（AAS），
∴AF=BE，
∵AF=AE+EF=AE+ED，
∴BE=AE+DE．

點(diǎn)評：本題考查的是圓周角定理、等邊三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出全等三角形是解答此題的關(guān)鍵．