Question

如圖，已知正方形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，O的圓分別與AB、AD相交于E、F，EF與AO相交于G，⊙I分別切OE，AB，BD于M，N，H，且AD=14．
（1）圖中有哪些三角形與△AGF相似（寫出結(jié)論不要求證明）；
（2）求AE+AF的值；
（3）若tan∠AEF=

4

3

，求⊙I的半徑．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意可得與△AGF相似的有△EGO、△AEO、△DFO；
（2）首先可證△AEO≌△DFO，即可得AE=DF，繼而求得AE+AF的值；
（3）由AE+AF=14，tan∠AEF=

4

3

，可求得AE=6、AF=8、EF=10，進(jìn)一步可得EO=5

2

、BO=7

2

、BE=8，然后由△BOE的面積與⊙I的半徑的關(guān)系，即可求得⊙I的半徑．

解答：解：（1）與△AGF相似的有△EGO、△AEO、△DFO；（3分）

（2）∵四邊形ABCD是正方形，
∴OA=OD，∠BAO=∠DAO=45°，
∵∠DFO=∠AEO，
∴△AEO≌△DFO（AAS），
∴AE=DF，
∴AE+AF=AD=14；（3分）

（3）∵AE+AF=14，tan∠AEF=

4

3

，
∴AE=6、AF=8、EF=10，（2分）
∵∠EAF=90°，
∴EF是直徑，
∴∠EOF=90°，
∵OE=FO，
∴EO=5

2

，
∵AB=14，OA=OB，∠AOB=90°，
∴BO=7

2

，
∴BE=AB-AE=14-6=8，（2分）
∴S_△BOE=

1

2

×8×7

2

×sin45°=28，（2分）
∴⊙I的半徑r=

2S△

a+b+c

=

56

12 2 +8

=

14

3 2 +2

=3

2

-2．（2分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角函數(shù)的應(yīng)用，內(nèi)切圓的性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．