Question

已知拋物線（b≠0）與x軸正半軸交于A（c，0），與y軸交于B點(diǎn)，直線AB的解析式為y₂=mx+n．
（1）求m-n+b的值；
（2）若拋物線頂點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)恰好在直線AB上，M是線段BA上的點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN∥y軸交拋物線于點(diǎn)N．試問：當(dāng)點(diǎn)M從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，線段MN的長度如何變化？

Answer 1

【答案】分析：（1）把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線解析式得到b=c-1；把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別代入直線AB的解析式求得m=-1，n=c，將其代入所求的代數(shù)式并求值即可；
（2）由（1）中的拋物線解析式可以求得頂點(diǎn)P（，），則易求頂點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)P′（，）．由一次函數(shù)y₂=-x+c圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可以
求得c=3．易求得，y₂=-x+3．則MN=，所以由二次函數(shù)圖象的性質(zhì)進(jìn)行解答即可．
解答：解：（1）把A（c，0）代入拋物線得：-c²+bc+c=0，
如圖，∵A（c，0）在x軸正半軸，
∴c＞0，
∴b=c-1，
∵拋物線與y軸交于B點(diǎn)．
∴B（0，c）
把A（c，0）、B（0，c）分別代入y₂=mx+n得：，
解得：
∴m-n+b=-1-c+c-1=-2；

（2）∴，y₂=-x+c
∴頂點(diǎn)P（，）                 
∴頂點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)P′（，）
把P′代入y₂=-x+c得：

解得：c₁=3，c₂=1（舍去）
∴當(dāng)c=3時(shí)，b=c-1=2；
當(dāng)c=1時(shí)，b=0；
∵b≠0
∴c=3，b=2，
∴，y₂=-x+3
∵M(jìn)是線段AB上的點(diǎn)，
∴y₂≤y₁，0≤x≤3．
∵M(jìn)N∥y軸
∴MN=
∴MN=
∵a=-1＜0，開口向下，對(duì)稱軸為
∴當(dāng)時(shí)，MN長度隨著x增大而增大；
當(dāng)時(shí)，MN長度隨著x增大而減小．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了一次函數(shù)、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式以及二次函數(shù)圖象的性質(zhì)．綜合性強(qiáng)，要求學(xué)生掌握數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．（2）中弄清線段MN長度的函數(shù)意義是解題的關(guān)鍵．