Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，1），取一點(diǎn)B（b，0），連接AB，做線段AB的垂直平分線l1 ， 過點(diǎn)B作x軸的垂線l2 ， 記l1 ， l2的交點(diǎn)為P．

（1）當(dāng)b=3時(shí)，在圖1中補(bǔ)全圖形（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；
（2）小慧多次取不同數(shù)值b，得出相應(yīng)的點(diǎn)P，并把這些點(diǎn)用平滑的曲線連接起來發(fā)現(xiàn)：這些點(diǎn)P竟然在一條曲線L上！
①設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），試求y與x之間的關(guān)系式，并指出曲線L是哪種曲線；
②設(shè)點(diǎn)P到x軸，y軸的距離分別是d1 ， d2 ， 求d1+d2的范圍，當(dāng)d1+d2=8時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
③將曲線L在直線y=2下方的部分沿直線y=2向上翻折，得到一條“W”形狀的新曲線，若直線y=kx+3與這條“W”形狀的新曲線有4個(gè)交點(diǎn)，直接寫出k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：線段AB的垂直平分線l1，過點(diǎn)B作x軸的垂線l2，直線l1與l2的交點(diǎn)為P，如圖所示，

（2）解：①當(dāng)x＞0時(shí)，如圖2中，連接AP，作PE⊥y軸于E，

∵l1垂直平分AB，

∴PA=PB=y，

在RT△APE中，∵EP=BO=x，AE=OE﹣OA=y﹣1，PA=y，

∴y2=x2+（y﹣1）2，

∴y= x2+ ，

當(dāng)x＜0時(shí)，點(diǎn)P（x，y）同樣滿足y= x2+ ，

∴曲線l就是二次函數(shù)y= x2+ 即曲線l是拋物線．

②∵d1= x2+ ，d2=|x|，

∴d1+d2= x2+ +|x|，

當(dāng)x=0時(shí)，d1+d2有最小值 ，

∴d1+d2≥ ，

∵d1+d2=8，則 x2+ +|x|=8，

當(dāng)x≥0時(shí)，原方程化為 x2+ +x﹣8=0，解得x=3或（﹣5舍棄），

當(dāng)x＜0時(shí)，原方程化為 x2+ ﹣x﹣8=0，解得x=﹣3或（5舍棄），

∵x=±3時(shí)，y=5，

∴點(diǎn)P坐標(biāo)（3，5）或（﹣3，5）．

③如圖3中，

把y=2代入y= x2+ ，解得x= ，

∴直線y=2與拋物線y= x2+ 的兩個(gè)交點(diǎn)為（﹣ ，2）和（ ，2）．

當(dāng)直線y=kx+3經(jīng)過點(diǎn)（﹣ ，2）時(shí)，2=﹣ k+3

∴k= ，

當(dāng)直線y=kx+3經(jīng)過點(diǎn)（ ，2）時(shí)，2= k+3，

∴k=﹣ ，

∴直線y=kx+3與這條“W”形狀的曲線有四個(gè)交點(diǎn)時(shí)，k的取值范圍是：﹣ ＜k＜ ．

【解析】（1）利用尺規(guī)作出線段AB的垂直平分線，過點(diǎn)B作出x軸的垂線即可．（2）①分x＞O或x＜0兩種情形利用勾股定理求出x與y的關(guān)系即可解決問題．②由題意得d1+d2= x2+ +|x|，列出方程即可解決問題．③求出直線y=2與拋物線y= x2+ 的兩個(gè)交點(diǎn)為（﹣ ，2）和（ ，2），利用這兩個(gè)特殊點(diǎn)，求出k的值即可解決問題．