Question

【題目】已知，在平面直角從標(biāo)系中，A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，4），B點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），C（m，6）為反比例函數(shù) 圖象上一點(diǎn)．將△AOB繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至△A′O′B處．

（1）求m的值；
（2）若O′落在OC上，連接AA′交OC與D點(diǎn)．①求證：四邊形ACA′O′為平行四邊形； ②求CD的長(zhǎng)度；
（3）直接寫出當(dāng)AO′最短和最長(zhǎng)時(shí)A′點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵C（m，6）為反比例函數(shù) 圖象上一點(diǎn)，

∴m= = ；

（2）

如圖1．

∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（ ，6），∴CH= ，OH=6，∴tan∠COH= ，AC=

∴∠COH=30°，OA=AC，

∴∠BOO′=60°，∠ACO=∠AOC=30°．

∵BO′=BO，

∴∠BO′O=∠BOO′=60°．

∵∠A′O′B=∠AOB=90°，

∴∠CO′A′=30°，

∴∠ACO=∠CO′A′，

∴AC∥O′A′．

又∵O′A′=OA=AC，

∴四邊形ACA′O′為平行四邊形；

②∵BO′=BO，∠BOO′=60°，

∴△BOB′是等邊三角形，

∴OO′=OB=2．

∵∠CHO=90°，CH= ，OH=6，∴OC= ，∴CO′=OC﹣OO′= ﹣2．

∵四邊形ACA′O′為平行四邊形，

∴CD=O′D= CO′= ﹣1；

（3）

解：當(dāng)AO′最短時(shí)A′點(diǎn)的坐標(biāo)（2+ ， ），當(dāng)AO′最長(zhǎng)時(shí)A′點(diǎn)的坐標(biāo)（2﹣ ，﹣ ）．

提示：①當(dāng)點(diǎn)O′在線段AB上時(shí)，AO′最短，

過(guò)點(diǎn)O′作O′N⊥x軸于N，過(guò)點(diǎn)A′作A′M⊥O′N于M，如圖2．

∵O′N∥OA，

∴△BNO′∽△BOA，

∴ ，

∴ ，

∴BN= ，O′N= ．

∵∠A′MO′=∠A′O′B=∠O′NB=90°，

∴∠MA′O′=∠NO′B，

∴△A′MO′∽△O′NB，

∴ ，

∴A′M= ，O′M= ，

∴A′（2﹣ + ， + ）即（2+ ， ）；

②當(dāng)點(diǎn)O′在線段AB延長(zhǎng)線上時(shí)，AO′最長(zhǎng)，

過(guò)點(diǎn)O′作O′N⊥x軸于N，過(guò)點(diǎn)A′作A′M⊥O′N于M，如圖3．’

同理可得：A′（2﹣ ，﹣ ）

【解析】（1）只需把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式，就可解決問題；（2）①過(guò)點(diǎn)C作CH⊥y軸與H，如圖1，易證AC=OA=O′A′，要證四邊形ACA′O′為平行四邊形，只需證AC∥O′A′，只需證∠ACO=∠A′O′C即可；②由平行四邊形ACA′O′可得CD= CO′，要求CD，只需求CO′，只需求出OC及OO′即可；（3）根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知：當(dāng)點(diǎn)O′在線段AB上時(shí)AO′最短（如圖2），當(dāng)點(diǎn)O′在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)AO′最長(zhǎng)（如圖3）；過(guò)點(diǎn)O′作O′N⊥x軸于N，過(guò)點(diǎn)A′作A′M⊥O′N于M，易證△BNO′∽△BOA，△A′MO′∽△O′NB，然后只需運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)即可解決問題．