Question

如圖，以BC為直徑的圓0交∆CFB的邊CF于點A，BM平分∠ABC交AC于點M,AD⊥BC于點D，AD交BM于點N,ME⊥BC于點E，AB² =AF．AC.
小題1:求△ANM?△ENM;
小題2:求證：FB是圓O的切線
小題3:證明四邊形AMEN是菱形．

Answer 1

小題1:證明：因為BC是圓0的直徑，
所以：∠BAC=90⁰                                   （1分）
又EM⊥BC，BM平分∠ABC，
所以：AM="ME." ∠AMN=∠EMN
又MN=MN
所以：∆ANM?∆ENM
小題2:因為：AB²=AF?AC,

又∠ABF=∠C
所以：∆ABF~∆ACB                                                 (4分)
所以：∠ABF=∠C
又∠FBC="∠ABC+∠FBA=" 90⁰，
．’．FB是圓O的切線
小題3:解：由(1)得AN="EN,AM=EM," ∠AMN=∠EMN
又：AN//ME
所以：∠ANM=∠EMN                                              (7分)
所以：∠AMN=∠ANM                                        (8分)
所以：AN=AM
AM=ME+EN=AN
所以：四邊形AMEN是菱形                                   （10分）

（1）利用角平分線的性質定理，可以得出AM=ME，∠AMN=∠EMN，再利用SAS可證出：△ANM≌△ENM
（2）利用相似三角形的判定可證出△ABF∽△ACB，從而得出∠ABF=∠C，那么可以得到∠CBF=90°
（3）利用（1）中的結論先證出∠AMN=∠ANM，可以得到AM=ME=EN=AN，從而得出四邊形AMEN是菱形，再求出△BND∽△BME，利用比例線段可求出ME的長，再利用菱形的面積公式可計算出菱形的面積．