Question

已知：關(guān)于x的方程（a-1）x²-（a+1）x+2=0．
（1）當(dāng)a取何值時(shí)，方程（a-1）x²-（a+1）x+2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）當(dāng)整數(shù)a取何值時(shí)，方程（a-1）x²-（a+1）x+2=0的根都是正整數(shù)．

Answer 1

（1）∵方程（a-1）x²-（a+1）x+2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴

a-1≠0 △＞0

，
即

a≠1 △=[-(a+1)]2-4(a-1)•2＞0

，
∴a≠1且a≠3．

（2）①當(dāng)a-1=0時(shí)，即a=1時(shí)，原方程變?yōu)?2x+2=0．
方程的解為 x=1；                            
②當(dāng)a-1≠0時(shí)，原方程為一元二次方程（a-1）x²-（a+1）x+2=0．
△=b²-4ac=[-（a+1）]²-4（a-1）•2=（a-3）²≥0．
x=

(a+1)±(a-3)

2(a-1)

，解得x₁=1，x₂=

2

a-1

．
∵方程（a-1）x²-（a+1）x+2=0都是正整數(shù)根．
∴只需

2

a-1

為正整數(shù)．
∴當(dāng)a-1=1時(shí)，即a=2時(shí)，x₂=2；
當(dāng)a-1=2時(shí)，即a=3時(shí)，x₂=1；   
∴a取1，2，3時(shí)，方程（a-1）x²-（a+1）x+2=0的根都是正整數(shù)．