正方形ABCD中,E、F分別為邊BC、DC上的點,若∠BAE=30°,
∠DAF=15°.
(1)試猜想EF、BE、DF之間的數(shù)量關(guān)系,并證明;
(2)若正方形的邊長為,求△AEF的面積;
(3)若連接BD,交AE于M、交AF于N,請?zhí)骄烤段BM、MN、DN之間的數(shù)量關(guān)系,并給出證明.
(1)解:EF=BE+DF
證明:延長CB至G,使BG=DF,連結(jié)AG.(如圖) ………… 1分
∵四邊形ABCD為正方形
∴AB=AD,∠ABC=∠ABG=∠D=∠BAD=90°
∴△ABG≌△ADF (SAS) ………… 2分
∴∠GAB=∠DAF=15°,AG=AF
∵AE=AE
∴△AGE≌△AFE(SAS)
∴EF=EG
∵EG=BG+BE=BE+DF
∴EF=BE+DF ………… 3分
(2)過點A作AH⊥EF于H(如圖),
∵∠BAE=30°,∠ABE=90°,AB=
∴BE=1,
∴EC=-1 ………… 4分
由(1)中△AGE≌△AFE可得∠AEB=∠AEF
∴∠AEB=∠AEF=60°
∴∠FEC=60°
∴EF=2EC=2-2 ………… 5分
又∵∠ABE=∠AHE=90°,AE=AE
∴△ABE≌△AHE(AAS)
∴AH=AB=
∴S△AEF= ………… 6分
(3)BM2+DN2=MN2
證明:過點A作AN′⊥AN,且使AN′=AN,連接BN′、MN′(如圖).
在正方形ABCD中
∵∠BAM=30°, ∠NAD=15°
∴∠NAM=45°
∴∠N′AM=∠NAM=45°
∵AM=AM
∴△AN′M≌△ANM(SAS) ………… 7分
∴MN′=MN
∵AB=AD, ∠BAD=90°
∴∠DAN+∠BAN=90°
∵∠N′AB+∠BAN=90°
∴∠N′AB=∠DAN=15°
∵AN′=AN
∴△ABN′≌△AND(SAS) ………… 8分
∴∠N′BA=∠D=∠ABD=45°
BN′= DN
∴∠N′BM=90° ………… 9分
∵N′B2+BM2=N′M2
∴BM2+DN2=MN2 ………… 10分
【相關(guān)知識點】全等三角形的判定、正方形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理的判定
【解題思路】(1)在證明兩條線段的和等于第三條線段時,往往利用截長補短的方法解決.(3)中需通過添加輔助線,把BM、DN、MN放在同一個三角形中來解決.
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