正方形ABCD中,E、F分別為邊BC、DC上的點,若∠BAE=30°,

DAF=15°.

(1)試猜想EF、BE、DF之間的數(shù)量關(guān)系,并證明;

(2)若正方形的邊長為,求△AEF的面積;

(3)若連接BD,交AEM、交AFN,請?zhí)骄烤段BM、MN、DN之間的數(shù)量關(guān)系,并給出證明.

(1)解:EF=BE+DF   

證明:延長CBG,使BG=DF,連結(jié)AG.(如圖)   …………  1分

∵四邊形ABCD為正方形

AB=AD,ABC=∠ABG=∠D=∠BAD=90°

∴△ABG≌△ADF (SAS)                     …………  2分

∴∠GAB=∠DAF=15°,AG=AF       

AE=AE

∴△AGE≌△AFE(SAS)

EF=EG

EG=BG+BE=BE+DF

EF=BE+DF                              …………  3分

(2)過點AAHEFH(如圖),         

∵∠BAE=30°,∠ABE=90°,AB=

BE=1,

EC=-1                    …………  4分

由(1)中△AGE≌△AFE可得∠AEB=∠AEF

∴∠AEB=∠AEF=60°

∴∠FEC=60°

EF=2EC=2-2              …………  5分

又∵∠ABE=∠AHE=90°,AE=AE

∴△ABE≌△AHE(AAS)

AH=AB=

SAEF=         …………  6分

(3)BM2+DN2=MN2

證明:過點AANAN,且使AN=AN,連接BN、MN(如圖).

在正方形ABCD

∵∠BAM=30°, ∠NAD=15°

∴∠NAM=45°

∴∠N′AM=∠NAM=45°

AM=AM

∴△AN′M≌△ANM(SAS)                   …………  7分

MN′=MN

AB=AD, ∠BAD=90°

∴∠DAN+∠BAN=90°

∵∠N′AB+∠BAN=90°

∴∠N′AB=∠DAN=15°

AN′=AN

∴△ABN′≌△AND(SAS)                …………  8分

∴∠N′BA=∠D=∠ABD=45°

BN= DN

∴∠N′BM=90°                      …………  9分

N′B2+BM2=N′M2

BM2+DN2=MN2                                      …………  10分

【相關(guān)知識點】全等三角形的判定、正方形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理的判定

【解題思路】(1)在證明兩條線段的和等于第三條線段時,往往利用截長補短的方法解決.(3)中需通過添加輔助線,把BM、DN、MN放在同一個三角形中來解決.

練習冊系列答案
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(2013•臨沂)如圖,正方形ABCD中,AB=8cm,對角線AC,BD相交于點O,點E,F(xiàn)分別從B,C兩點同時出發(fā),以1cm/s的速度沿BC,CD運動,到點C,D時停止運動,設(shè)運動時間為t(s),△OEF的面積為s(cm2),則s(cm2)與t(s)的函數(shù)關(guān)系可用圖象表示為( 。

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如圖,在正方形ABCD中,畫2個半徑為a的四分之一圓,用代數(shù)式表示陰影部分的面積為
2a2-
1
2
πa2
2a2-
1
2
πa2
(結(jié)果保留π).

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如圖,在正方形ABCD中,AB=4,E在BC邊上,BE=1,F(xiàn)是AC上一動點,則EF+BF的最小值是
5
5

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