Question

（2012•鼓樓區(qū)二模）如圖，已知邊長為10的菱形ABCD，對角線BD、AC交于點O，AC=12，點P在射線BD上運動，過點P分別向直線AB、AD作垂線，垂足分別為E、F．
（1）對角線BD長為

16

；
（2）設PB=x，以PO為半徑的⊙P與以DF為半徑的⊙D相切時，求x的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)菱形性質求出AO長，OB=OD，AC⊥BD，根據(jù)勾股定理求出BO，即可求出BD；
（2）設PB=x，則PD=BD-PB=16-x．在Rt△PFD中，求出DF=DP•cos∠ADB=

4

5

（16-x），分為兩種情況：①當⊙P與⊙D外切時：第一種情況，當P點在點O的左側，PO=8-x，根據(jù)相切兩圓性質得出PO+DF=PD，代入得出方程（8-x）+

4

5

（16-x）=16-x，求出x即可；第二種情況，當P點在點O的右側，PO=x-8，根據(jù)相切兩圓的性質得出PO+DF=PD，代入得出方程（x-8）+

4

5

（16-x）=16-x，求出方程的解即可；②當⊙P與⊙D內(nèi)切時：第三種情況，PO=PB-OB=x-8，根據(jù)OP-DF═PD，得出方程（x-8）-

4

5

（16-x）=16-x，求出即可；第四種情況，點P在點D右側時，PF=OD=8，則DP=10，PB=26．

解答：（1）解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AO=OC=

1

2

AC=6，OB=OD，AC⊥BD，
由勾股定理得：BO=

AB2-AO2

=

102-62

=8，
∴BD=16，
故答案為：16．
（2）PB=x，則PD=BD-PB=16-x．
∵PF⊥AD，
∴在Rt△PFD中，DF=DP•cos∠ADB=

4

5

（16-x）；
①當⊙P與⊙D外切時：
情況一：當P點在點O的左側，
PO=OB-PB=8-x，此時PO+DF=PD，
∴（8-x）+

4

5

（16-x）=16-x，
解得，x=6；
情況二：當P點在點O的右側，
PO=PB-OB=x-8，
此時PO+DF=PD，
∴（x-8）+

4

5

（16-x）=16-x，
解得，x=

28

3

；
②當⊙P與⊙D內(nèi)切時：
情況三：點P在D的左側時，
PO=PB-OB=x-8，
∵PD＞DF，
∴DF-OP═PD，
∴（x-8）-

4

5

（16-x）=16-x，
解得，x=

92

7

；
情況四：點P在點D右側時，
DF=OD=8，則DP=10，PB=26，
綜上所述，PB的長為6或

92

7

或

28

3

或26．

點評：本題考查了解直角三角形，菱形的性質，勾股定理，相切兩圓的性質等知識點，主要考查學生綜合運用性質進行推理和計算的能力，題目綜合性比較強，難度偏大，注意要進行分類討論．