Question

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=10，在△DCE中，∠DCE=90°，DC=EC=6，點D在線段AC上，點E在線段BC的延長線上．將△DCE繞點C旋轉(zhuǎn)60°得到△D′CE′（點D的對應(yīng)點為點D′，點E的對應(yīng)點為點E′），連接AD′、BE′，過點C作CN⊥BE′，垂足為N，直線CN交線段AD′于點M，則MN的長為    ．

Answer 1

【答案】分析：將△DCE繞點C旋轉(zhuǎn)60°得到△D′CE′，可分為順時針和逆時針旋轉(zhuǎn)兩個圖形；先求順時針旋轉(zhuǎn)的情形，如圖作輔助線，先解Rt△BFC，再解△BE′F求BE′，用“面積法”求CN，證明△ACG≌△BCN，△CD'H≌△CE'N，將有關(guān)線段轉(zhuǎn)化，可求CM，從而可求MN．
解答：解：如下圖，過點B作E'C的垂線交其延長線于F點，過點D'作CM的垂線交CM于H點，過A點作CM的垂線交其延長線于G點．
∵∠ACD'=60°，∠ACB=∠D'CE'=90°，
∴∠BCE′=360°-∠ACD'-∠ACB-∠D'CE'=120°．
∴∠BCF=180°-∠BCE'=60°，
BF=sin∠BCF•BC=×10=，
∴S_△BCE'=BF•CE'=．
∵∠ACG+∠BCN=90°，∠BCN+∠CBN=90°，
∴∠ACG=∠CBN
又∵AC=BC，
∴Rt△ACG≌Rt△BCN，
∴AG=CN，CG=BN．
同理△CD′H≌△CE′N，D′H=CN，CH=NE′．
∴M為GH中點，CM=（CG+CH）=（NB+NE′）=BE′．
又∵BF=，∠BCF=60°，
∴CF=5，F(xiàn)E′=CF+CE′=11，
∴BE'===14，
∴CM=BE'=7．
又∵S_△BCE'=CN•BE'，
∴CN=2S_△BCE′÷BE'=，
∴MN=CM+CN=7．
同理，當△CDE逆時針旋轉(zhuǎn)60°時，MN如下圖中右邊所示，MN=7-．
點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理的運用及分類討論的思想．