Question

如圖，點A（2，6）和點B（點B在點A的右側(cè)）在反比例函數(shù)的圖象上，點C在y軸上，BC∥x軸，tan∠ACB=2，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A、B、C三點．
（1）求反比例函數(shù)和二次函數(shù)的解析式；
（2）如果點D在x軸的正半軸上，點E在反比例函數(shù)的圖象上，四邊形ACDE是平行四邊形，求邊CD的長．

Answer 1

解：（1）設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y=，
∵點A（2，6）在反比例函數(shù)的圖象上，
∴6=，
∴k=12，
∴反比例函數(shù)的解析式為，
作AM⊥BC，垂足為M，交x軸于N，
∴CM=2．
在Rt△ACM中，AM=CM•tan∠ACB=2×2=4，
∵BC∥x軸，OC=MN=AN-AM=6-4=2，
∴點C的坐標（0，2）．
當x=2時，y=6，
∴點B的坐標（6，2）
設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax²+bx+2，
則，
解得，
故二次函數(shù)的解析式為；

（2）延長AC交x軸于G，作EH⊥x軸，垂足為H，
∵在平行四邊形ACDE中，AC∥DE，
∴∠AGO=∠EDH，
∵BC∥x軸，
∴∠ACM=∠AGO，
∴∠ACM=∠EDH．
∵∠AMC=∠EHD=90°，AC=ED，
∴△ACM≌△EDH，
∴EH=AM=4，DH=CM=2．
∴點E（3，4），
∴OE=3，OD=OE-DH=1，
∴CD=．
分析：（1）設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y=，由A的坐標可求出k的值，作AM⊥BC，垂足為M，交y軸于N，利用已知條件求出點B的坐標（6，2）再設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax²+bx+2，把A和B的坐標代入求出a和b的值即可求出二次函數(shù)的解析式；
（2）延長AC交x軸于G，作EH⊥x軸，垂足為H，利用已知條件可證明△ACM≌△EDH，由全等三角形的性質(zhì)可得：EH=AM=4，DH=CM=2，進而求出點E（3，4），所以O(shè)E=3，OD=OE-DH=1，利用勾股定理即可求出CD的長．
點評：本題考查了利用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式和二次函數(shù)的解析式、全等三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理的運用、平行四邊形的性質(zhì)，題目的綜合性很強，難度中等，解題的關(guān)鍵是正確的作出輔助線構(gòu)造直角三角形．