Question

直線MN交⊙O于A，B兩點(diǎn)，AC是直徑，AD平分∠CAM交⊙O于D，DE⊥MN于點(diǎn)E．
（1）判斷DE是否為⊙O的切線，并說明理由．
（2）當(dāng)DE是4cm，AE是2cm時(shí)，求⊙O的半徑．

Answer 1

解：（1）DE是⊙O的切線．
連接OD，在⊙O中，
∵OD=OA，
∴∠ODA=∠OAD，
而AD平分∠CAM，
∴∠OAD=∠EAD，
∴∠ODA=∠EAD，
∴OD∥MN，
而DE⊥MN，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切線；

（2）在Rt△DEA中DE=4，AE=2中，
∴AD=，
在⊙O中AC是直徑，
∴∠CDA=90°=∠DEA，
而∠CAD=∠DAE，
∴△CAD∽△DAE，
∴，
即，
∴CA=10，
∴⊙O的半徑是5cm．
分析：（1）根據(jù)角平分線的定義及等腰三角形的性質(zhì)求出∠ODA=∠EAD，從而判斷出OD∥MN，再根據(jù)切線的判定定理即可證明．
（2）在Rt△DEA中，利用勾股定理求出AD的長，再判斷出△CAD∽△DAE，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可解答．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)及切線的判定和性質(zhì)，將圓與三角形結(jié)合是常見的題型．