Question

已知二次函數(shù)y=mx²+4（m-3）x-16
（1）證明：該二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；
（2）當(dāng)m為何值時(shí)，二次函數(shù)的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為最小？求出這個(gè)最小值，并求此時(shí)二次函數(shù)圖象的開口方向與頂點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）令二次函數(shù)解析式中y=0，得到關(guān)于x的一元二次方程，表示出根的判別式，配方后得到根的判別式恒大于0，從而得到一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，可得二次函數(shù)圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，得證；
（2）設(shè)出二次函數(shù)圖象與x軸的兩交點(diǎn)橫坐標(biāo)，把第一問(wèn)表示出的根的判別式代入公式|x₁-x₂|=

△

|m|

中，化簡(jiǎn)后進(jìn)行配方，根據(jù)完全平方式的最小值為0，得到兩交點(diǎn)距離的最小值，以及此時(shí)m的值，把此時(shí)m的值代入到二次函數(shù)解析式中，確定出二次函數(shù)解析式，根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)大于0，得到拋物線開口向上，代入頂點(diǎn)坐標(biāo)公式即可確定出頂點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）令y=0，得mx²+4（m-3）x-16=0①，
∵△=16（m-3）²+64m=16（m²-2m+9）=16（m-1）²+128，
故不論m為任何不為0的實(shí)數(shù)，都有△＞0，
∴方程①有兩個(gè)不等的實(shí)根，
∴二次函數(shù)圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；

（2）設(shè)二次函數(shù)圖象與x軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x₁，x₂，
∵y=mx²+4（m-3）x-16是二次函數(shù)，∴m≠0，
∴二次函數(shù)與x軸兩交點(diǎn)的距離|x₁-x₂|=

△

|m|

=

16(m-3)2+64m

|m|

=

16(m2-2m+9) m2

=4

1- 2 m + 9 m2

=4

( 3 m - 1 3 ) 2+ 8 9

，
當(dāng)且僅當(dāng)

3

m

-

1

3

=0，即m=9時(shí)，|x₁-x₂|有最小值，最小值為

8 2

3

，
把m=9代入原式，得此時(shí)二次函數(shù)為y=9x²+24x-16，
∵9＞0，∴當(dāng)x=-

b

2a

=-

24

18

=-

4

3

時(shí)，y_min=

4ac-b2

4a

=

36×16-242

36

=-32，
∴此時(shí)二次函數(shù)圖象的開口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-

4

3

，-32）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，求函數(shù)的最值，拋物線的圖象與性質(zhì)，以及二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，一元二次方程ax²+bx+c=0的解即為二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，故利用根的判別式判斷方程解的情況即可得到二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，可以利用配方的方法把式子變形，根據(jù)完全平方式恒大于等于0得出式子的最值，同時(shí)要求學(xué)生掌握二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式．