Question

已知直線l與x軸、y軸分別交于A（2，0）、B（0，2）兩點(diǎn)，雙曲線y=

k

x

（k＞0）在第一象限的一支與AB不相交，過雙曲線上一點(diǎn)P作PM⊥x軸于M，PN⊥y軸于N，分別交AB于E、F．
（1）如果S_△EOF=

5

6

，PM=

3

2

，求雙曲線的解析式；
（2）當(dāng)P在（1）中雙曲線上移動，∠EOF的大小始終為45°不變，此時，雙曲線上存在這樣的點(diǎn)P，使OE=OF，求出此時點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（1）先用待定系數(shù)法求出直線l的解析式，設(shè)出E點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)S_△EOF=S_△AOF-S_△AOE即可得出E點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得出P點(diǎn)坐標(biāo)，把P點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線y=

k

x

即可得出結(jié)論；
（2）過點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D，因為OB=OA，故BD=AD，當(dāng)OE=OF時可得DE=DF，故可得出BF=AE，再根據(jù)△BNF與△AME均是等腰直角三角形可知BN=NF=ME=AM，故ON=OM，即四邊形NOMP是正方形，設(shè)P（x，x），代入（1）中反比例函數(shù)的解析式即可得出x的值，進(jìn)而得出結(jié)論．

解答：解：（1）設(shè)直線l的解析式為y=kx+b（k≠0），
∵A（2，0）、B（0，2），
∴

2k+b=0 b=2

，解得

k=-1 b=2

，
∴此直線的解析式為y=-x+2，
∵點(diǎn)E在直線l上，
∴設(shè)E（a，-a+2），
∵S_△EOF=

5

6

，PM=

3

2

，PM⊥x軸于M，PN⊥y軸于N，
∴S_△EOF=S_△AOF-S_△AOE=

1

2

OA•PM-

1

2

OA•ME
=

1

2

×2×

3

2

-

1

2

×2×（-a+2）
=

3

2

+a-2=

5

6

，
解得a=

4

3

，
∴E（

4

3

，

2

3

），
∴P（

4

3

，

3

2

），
∵點(diǎn)P在雙曲線y=

k

x

上，
∴k=

4

3

×

3

2

=2，
∴拋物線的解析式為：y=

2

x

；

（2）如圖所示，過點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D，
∵OB=OA，
∴BD=AD，
∴當(dāng)OE=OF時DE=DF，
∴BF=AE，
∵△BNF與△AME均是等腰直角三角形，
∴BN=NF=ME=AM，
∴ON=OM，即四邊形NOMP是正方形，
設(shè)P（x，x），則x=

2

x

，解得x=

2

或x=-

2

（舍去），
∴P（

2

，

2

）．

點(diǎn)評：本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，涉及到用待定系數(shù)法求一次函數(shù)及反比例函數(shù)的解析式、等腰三角形的性質(zhì)等知識，難度適中．