【題目】如圖,矩形的邊OA在x軸上,邊OC在y軸上,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(10,8),沿直線OD折疊矩形,使點(diǎn)A正好落在BC上的E處,E點(diǎn)坐標(biāo)為(6,8),拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過O、A、E三點(diǎn).
(1)求此拋物線的解析式;
(2)求AD的長;
(3)點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上的一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)△PAD的周長最小時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo).
【答案】(1)y=;(2)AD=5;(3)(5,)
【解析】
試題分析:(1)利用矩形的性質(zhì)和B點(diǎn)的坐標(biāo)可求出A點(diǎn)的坐標(biāo),再利用待定系數(shù)法可求得拋物線的解析式;(2)設(shè)AD=x,利用折疊的性質(zhì)可知DE=AD,在Rt△BDE中,利用勾股定理可得到關(guān)于x的方程,可求得AD的長;(3)由于O、A兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱,所以連接OD,與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為滿足條件的點(diǎn)P,利用待定系數(shù)法可求得直線OD的解析式,再由拋物線解析式可求得對(duì)稱軸方程,從而可求得P點(diǎn)坐標(biāo).
試題解析:(1)∵四邊形ABCD是矩形,B(10,8),
∴A(10,0), 又拋物線經(jīng)過A、E、O三點(diǎn),把點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線解析式可得,解得, ∴拋物線的解析式為y=﹣x2+x;
(2)由題意可知:AD=DE,BE=10﹣6=4,AB=8, 設(shè)AD=x,則ED=x,BD=AB﹣AD=8﹣x,
在Rt△BDE中,由勾股定理可知ED2=EB2+BD2,即x2=42+(8﹣x)2,解得x=5, ∴AD=5;
(3)∵y=﹣x2+x, ∴其對(duì)稱軸為x=5, ∵A、O兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱, ∴PA=PO,
當(dāng)P、O、D三點(diǎn)在一條直線上時(shí),PA+PD=PO+PD=OD,此時(shí)△PAD的周長最小,
如圖,連接OD交對(duì)稱軸于點(diǎn)P,則該點(diǎn)即為滿足條件的點(diǎn)P,
由(2)可知D點(diǎn)的坐標(biāo)為(10,5),
設(shè)直線OD解析式為y=kx,把D點(diǎn)坐標(biāo)代入可得5=10k,解得k=, ∴直線OD解析式為y=x,
令x=5,可得y=, ∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(5,).
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