Question

7．如圖，CD是⊙O的弦，AB是直徑，且CD∥AB，連接AC，AD，OD，其中AC=CD，過(guò)點(diǎn)B的切線(xiàn)交CD的延長(zhǎng)線(xiàn)于E．
（1）求證：DA平分∠CDO；
（2）若AB=12，求圖中陰影部分的周長(zhǎng)．（用含π的式子表示）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、平行線(xiàn)的性質(zhì)證明即可；
（2）連接BD，根據(jù)弦、弧、圓心角的關(guān)系得到∠CAD=∠CDA=∠OAD=30°，根據(jù)圓周角定理得到∠DOB=60°，根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)得到∠OBE=90°，利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可．

解答 （1）證明：∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵CD∥AB，
∴∠CDA=∠OAD，
∴∠CDA=∠ODA，即DA平分∠CDO；
（2）解：連接BD，
∵AC=CD，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{CD}$，
∴∠CAD=∠CDA，
∵∠CDA=∠OAD，
∴∠CAD=∠CDA=∠OAD=90°×$\frac{1}{3}$=30°，
∴∠DOB=60°，
∴△BOD是等邊三角形，
∴$\widehat{BD}$的長(zhǎng)為：$\frac{60π×6}{180}$2π，
∵BE是⊙O的切線(xiàn)，
∴∠OBE=90°，
∴∠DBE=30°，
∵CD∥AB，∠OBE=90°，
∴∠E=90°，
∴DE=$\frac{1}{2}$BD=3，BE=BD•cos∠DBE=3$\sqrt{3}$，
∴圖中陰影部分的周長(zhǎng)為3+3$\sqrt{3}$+2π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是切線(xiàn)的性質(zhì)、弧長(zhǎng)的計(jì)算，掌握?qǐng)A的切線(xiàn)垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵．