Question

【題目】如圖1，點(diǎn)O在線段AB上，AO=2，OB=1，OC為射線，且∠BOC=60°，動(dòng)點(diǎn)P以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)O出發(fā)，沿射線OC做勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）當(dāng)t= 秒時(shí)，則OP= ， S△ABP=；
（2）當(dāng)△ABP是直角三角形時(shí)，求t的值；
（3）如圖2，當(dāng)AP=AB時(shí)，過點(diǎn)A作AQ∥BP，并使得∠QOP=∠B，求證：AQBP=3．

Answer 1

【答案】
（1）1；
（2）

解：當(dāng)△ABP是直角三角形時(shí)，

①若∠A=90°．

∵∠BOC=60°且∠BOC＞∠A，

∴∠A≠90°，故此種情形不存在；

②若∠B=90°，如答圖2所示：

∵∠BOC=60°，

∴∠BPO=30°，

∴OP=2OB=2，又OP=2t，

∴t=1；

③若∠APB=90°，如答圖3所示：

過點(diǎn)P作PD⊥AB于點(diǎn)D，則OD=OPsin30°=t，PD=OPsin60°= t，

∴AD=OA+OD=2+t，BD=OB﹣OD=1﹣t．

在Rt△ABP中，由勾股定理得：PA2+PB2=AB2

∴（AD2+PD2）+（BD2+PD2）=AB2，

即[（2+t）2+（ t）2]+[（1﹣t）2+（ t）2]=32

解方程得：t= 或t= （負(fù)值舍去），

∴t= ．

綜上所述，當(dāng)△ABP是直角三角形時(shí)，t=1或t=

（3）

證明：如答圖4，過點(diǎn)O作OE∥AP，交PB于點(diǎn)E，

則有 ，

∴PE= PB．

∵AP=AB，

∴∠APB=∠B，

∵OE∥AP，

∴∠OEB=∠APB，

∴∠OEB=∠B，

∴OE=OB=1，∠3+∠B=180°．

∵AQ∥PB，

∴∠OAQ+∠B=180°，

∴∠OAQ=∠3；

∵∠AOP=∠1+∠QOP=∠2+∠B，∠QOP=∠B，

∴∠1=∠2；

∴△OAQ∽△PEO，

∴ ，即 ，

化簡(jiǎn)得：AQPB=3

【解析】（1）解：當(dāng)t= 秒時(shí)，OP=2t=2× =1．
如答圖1，過點(diǎn)P作PD⊥AB于點(diǎn)D．

在Rt△POD中，PD=OPsin60°=1× = ，
∴S△ABP= ABPD= ×（2+1）× = ．
（1）如答圖1所示，作輔助線，利用三角函數(shù)或勾股定理求解；（2）當(dāng)△ABP是直角三角形時(shí)，有三種情形，需要分類討論；（3）如答圖4所示，作輔助線，構(gòu)造一對(duì)相似三角形△OAQ∽△PBO，利用相似關(guān)系證明結(jié)論．