Question

如圖所示，在正方形ABCD的對(duì)角線上取點(diǎn)E，使得∠BAE=，連結(jié)AE，CE．延長(zhǎng)CE到F，連結(jié)BF，使得BC=BF．若AB=1，則下列結(jié)論：①AE=CE； ②F到BC的距離為；③BE+EC=EF；④；⑤．其中正確的個(gè)數(shù)是

A．2個(gè)

B．3個(gè)

C．4個(gè)

D．5個(gè)

Answer 1

B

解析試題分析：根據(jù)正方形的性質(zhì)推出AB=BC，∠ABD=∠CBD=45，證△ABE≌△CBE，即可判斷①；過F作FH⊥BC于H，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可求出FH；過A作AM⊥BD交于M，根據(jù)勾股定理求出BD，根據(jù)三角形的面積公式即可求出高AM，根據(jù)三角形的面積公式求出即可．
∵正方形ABCD，
∴AB=BC，∠ABD=∠CBD=45°，
∵BE=BE，
∴△ABE≌△CBE，
∴AE=CE，∴①正確；
過F作FH⊥BC于H，

∵BF=BC=1，
∴∠BFC=∠FCB=15°，
∴FH=BF=，∴②錯(cuò)誤；
∵Rt△BHF中，F(xiàn)H=，BF=1，

∵BD是正方形ABCD的對(duì)角線，
∴AE=CE，
在EF上取一點(diǎn)N，使BN=BE，

又∠NBE=∠EBC+∠ECB=45°+15°=60°，
∴△NBE為等邊三角形，
∴∠ENB=60°，又∠NFB=15°，
∴∠NBF=45°，又∠EBC=45°，
∴∠NBF=∠EBC，又BF=BC，∠NFB=∠ECB=15°，
可證△FBN≌△CBE，
∴NF=EC，
故BE+EC=EN+NF=EF，
∴③正確；
過A作AM⊥BD交于M，
根據(jù)勾股定理求出BD=，
由面積公式得：AD×AB=BD×AM，解得
∵∠ADB=45°，∠AED=60°，
∴，
∴，∴④錯(cuò)誤；

故選B.
考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的面積，勾股定理，含30°角的直角三角形的性質(zhì)
點(diǎn)評(píng)：本題知識(shí)點(diǎn)多，綜合性強(qiáng)，是中考常見題，綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行證明是解此題的關(guān)鍵．