Question

【題目】我們給出如下定義：順次連接任意一個四邊形各邊中點所得的四邊形叫中點四邊形．

（1）如圖，點P是四邊形ABCD內一點，且滿足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，點E，F，G，H分別為邊AB，BC，CD，DA的中點，猜想中點四邊形EFGH的形狀，并證明你的猜想；

（2）若改變（1）中的條件，使∠APB＝∠CPD＝90°，其他條件不變，直接寫出中點四邊形EFGH的形狀（不必證明）．

Answer 1

【答案】（1）四邊形EFGH是菱形，理由見解析；（2）四邊形EFGH是正方形，理由見解析

【解析】

（1）連接AC、BD，由PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD易證△APC≌△BPD（SAS），

故可得到AC＝BD，再利用三角形的中位線可得EF＝AC、FG＝BD，EH＝BD，GH＝AC，易證EF＝FG＝GH＝EH，故四邊形EFGH是菱形；

（2）設AC、BD交點為O，AC與PD交于點M，AC與EH交于點N，

利用△APC≌△BPD，所以∠ACP＝∠BDP，再根據∠CPD＝90°故∠PDC+∠PCD＝90°

易得∠ODC+∠OCD＝90°，即∠COD＝90°，即AC⊥BD，再利用中位線的性質∠EHG＝∠ENO＝∠BOC＝∠DOC＝90°，即可得到四邊形EFGH是正方形．

（1）四邊形EFGH是菱形，

如圖，連接AC、BD，

∵∠APB＝∠CPD，

∴∠APB+∠APD＝∠CPD+∠APD，即∠APC＝∠BPD，

在△APC和△BPD中，

，

∴△APC≌△BPD（SAS），

∴AC＝BD，

∵點E、F、G分別為AB、BC、CD的中點，

∴EF＝AC、FG＝BD，EH＝BD，GH＝AC，

∴EF＝FG＝GH＝EH，

∴四邊形EFGH是菱形；

（2）四邊形EFGH是正方形，

設AC、BD交點為O，AC與PD交于點M，AC與EH交于點N，

∵△APC≌△BPD，

∴∠ACP＝∠BDP，

∵∠CPD＝90°

∴∠PDC+∠PCD＝90°

∴∠ODC+∠OCD＝90°

∴∠COD＝90°

∴AC⊥BD

∵EH∥BD、AC∥HG，

∴∠EHG＝∠ENO＝∠BOC＝∠DOC＝90°，

∵四邊形EFGH是菱形，

∴四邊形EFGH是正方形．