Question

【題目】四邊形ABCD是正方形，PA是過正方形頂點A的直線，作DE⊥PA于E，將射線DE繞點D逆時針旋轉45°與直線PA交于點F．

（1）如圖1，當∠PAD＝45°時，點F恰好與點A重合，則的值為　 　；

（2）如圖2，若45°＜∠PAD＜90°，連接BF、BD，試求的值，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）＝．

【解析】

（1）由等腰直角三角形的性質可得AD＝AE，即可求解；

（2）過點B作BH⊥AP于H，由“AAS”可證△ADE≌△BAH，可得AE＝BH，由∠EFD＝45°＝∠ABD，可證點A，點F，點B，點D四點共圓，可得∠BFH＝∠ADB＝45°，即可求解．

（1）∵∠PAD＝45°，DE⊥AP，

∴∠DAE＝∠EDA，

∴AE＝DE，

∴AD＝AE，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD＝AB＝BF＝AE，

∴；

（2）過點B作BH⊥AP于H，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD＝AB，∠ABD＝45°，∠BAD＝90°，

∴∠BAH+∠DAE＝90°，

又∵∠BAH+∠ABH＝90°，

∴∠ABH＝∠DAE，

又∵AD＝AB，∠DEA＝∠AHB＝90°，

∴△ADE≌△BAH（AAS），

∴AE＝BH，

∵將射線DE繞點D逆時針旋轉45°與直線PA交于點F，

∴∠EDF＝45°，

∴∠EFD＝45°＝∠ABD，

∴點A，點F，點B，點D四點共圓，

∴∠BFH＝∠ADB＝45°，

又∵BH⊥AP，

∴∠FBH＝∠BFH＝45°，

∴BH＝FH，

∴BF＝BH＝AE，

∴＝＝．