Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)P在A(yíng)D上，且不與A、D重合，BP的垂直平分線(xiàn)分別交CD、AB于E、F兩點(diǎn)，垂足為Q，過(guò)E作EH⊥AB于H．

（1）求證：HF=AP；
（2）若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為12，AP=4，求線(xiàn)段EQ的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）

【解答】證明：∵EQ⊥BO，EH⊥AB，

∴∠EQN=∠BHM=90°．

∵∠EMQ=∠BMH，

∴△EMQ∽△BMH，

∴∠QEM=∠HBM．

在Rt△APB與Rt△HFE中，

，

∴△APB≌△HFE，

∴HF=AP；

（2）

解：由勾股定理得，BP=．

∵EF是BP的垂直平分線(xiàn)，

∴BQ=BP=，

∴QF=BQtan∠FBQ=BQtan∠ABP=×=．

由1知，△APB≌△HFE，

∴EF=BP=，

∴EQ=EF﹣QF=﹣=．

【解析】（1）先根據(jù)EQ⊥BO，EH⊥AB得出∠EQN=∠BHM=90°．根據(jù)∠EMQ=∠BMH得出△EMQ∽△BMH，故∠QEM=∠HBM．由ASA定理得出△APB≌△HFE，故可得出結(jié)論；
（2）由勾股定理求出BP的長(zhǎng)，根據(jù)EF是BP的垂直平分線(xiàn)可知BQ=BP，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義得出QF=BQ的長(zhǎng)，由（1）知，△APB≌△HFE，故EF=BP=4，再根據(jù)EQ=EF﹣QF即可得出結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解勾股定理的概念(直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2)，還要掌握正方形的性質(zhì)(正方形四個(gè)角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對(duì)角線(xiàn)相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線(xiàn)平分一組對(duì)角；正方形的一條對(duì)角線(xiàn)把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形；正方形的對(duì)角線(xiàn)與邊的夾角是45o；正方形的兩條對(duì)角線(xiàn)把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形)的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵．