問題提出

我們在分析解決某些數(shù)學問題時,經(jīng)常要比較兩個數(shù)或代數(shù)式的大小,而解決問題的策略一般要進行一定的轉(zhuǎn)化,其中“作差法”就是常用的方法之一.所謂“作差法”:就是通過作差、變形,并利用差的符號確定他們的大小,即要比較代數(shù)式M、N的大小,只要作出它們的差M-N,若M-N>0,則M>N;若M-N=0,則M=N;若M-N<0,則M<N.

問題解決

如圖1,把邊長為a+b(a≠b)的大正方形分割成兩個邊長分別是a、b的小正方形及兩個矩形,試比較兩個小正方形面積之和M與兩個矩形面積之和N的大小.

解:由圖可知:M=a2+b2,N=2ab.

∴M-N=a2+b2-2ab=(a-b)2

∵a≠b,∴(a-b)2>0.

∴M-N>0.

∴M>N.

類比應用

1.已知:多項式M =2a2-a+1 ,N =a2-2a .試比較M與N的大小.

2.已知:如圖,銳角△ABC (其中BC為a,AC為b,AB為c)三邊

滿足a <b < c ,現(xiàn)將△ABC 補成長方形,使得△ABC的兩個頂

點為長方形的兩個端點,第三個頂點落在長方形的這一邊的對邊上。                     

     ①這樣的長方形可以畫       個;

②所畫的長方形中哪個周長最。繛槭裁?

拓展延伸                                                                                                                               

     已知:如圖,銳角△ABC (其中BC為a,AC為b,AB為c)三邊滿足a <b < c ,畫其BC邊上的內(nèi)接正方形EFGH , 使E、F兩點在邊BC上,G、H分別在邊AC、AB上,同樣還可畫AC、AB邊上的內(nèi)接正方形,問哪條邊上的內(nèi)接正方形面積最大?為什么?

 

 

 

1.M>N

2.①3個  ②以最短邊a為邊畫的長方形周長最小

       拓展延伸:邊上的內(nèi)接正方形面積最大

解析:

(1)M-N==

∴M>N                                3分

(2) ① 3                          4分

②以最短邊a為邊畫的長方形周長最小.                        5分

理由:設ΔABC的面積為S,三個長方形的周長分別為、

易得三個長方形的面積相等,均為2S.

===

=

,

,

<

同理<

<<                        8分

拓展延伸:

邊上的內(nèi)接正方形面積最大                        9分

理由: 設邊上的內(nèi)接正方形邊長為x,

由ΔAHG∽ΔABC,得

解得x=

由上題得,最小,且(定值),

∴x為最大

邊上的內(nèi)接正方形面積最大                        12分

 

練習冊系列答案
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

問題提出
我們在分析解決某些數(shù)學問題時,經(jīng)常要比較兩個數(shù)或代數(shù)式的大小,而解決問題的策略一般要進行一定的轉(zhuǎn)化,其中“作差法”就是常用的方法之一.所謂“作差法”:就是通過作差、變形,并利用差的符號確定它們的大小,即要比較代數(shù)式M、N的大小,只要作出它們的差M-N,若M-N>0,則M>N;若M-N=0,則M=N;若M-N<0,則M<N.
問題解決
如圖1,把邊長為a+b(a≠b)的大正方形分割成兩個邊長分別是a、b的小正方形及兩個矩形,試比較兩個小正方形面積之和M與兩個矩形面積之和N的大。
解:由圖可知:M=a2+b2,N=2ab.
∴M-N=a2+b2-2ab=(a-b)2
∵a≠b,∴(a-b)2>0.
∴M-N>0.
∴M>N.
類比應用
(1)已知小麗和小穎購買同一種商品的平均價格分別為
a+b
2
元/千克和
2ab
a+b
元/千克(a、b是正數(shù),且a≠b),試比較小麗和小穎所購買商品的平均價格的高低.
(2)試比較圖2和圖3中兩個矩形周長M1、N1的大。╞>c).
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聯(lián)系拓廣
小剛在超市里買了一些物品,用一個長方體的箱子“打包”,這個箱子的尺寸如圖4所示(其中b>a>c>0),售貨員分別可按圖5、圖6、圖7三種方法進行捆綁,問哪種方法用繩最短?哪種方法用繩最長?請說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•鹽都區(qū)一模)問題提出
我們在分析解決某些數(shù)學問題時,經(jīng)常要比較兩個數(shù)或代數(shù)式的大小,而解決問題的策略一般要進行一定的轉(zhuǎn)化,其中“作差法”就是常用的方法之一.所謂“作差法”:就是通過作差、變形,并利用差的符號確定他們的大小,即要比較代數(shù)式M、N的大小,只要作出它們的差M-N,若M-N>0,則M>N;若M-N=0,則M=N;若M-N<0,則M<N.
問題解決
如圖1,把邊長為a+b(a≠b)的大正方形分割成兩個邊長分別是a、b的小正方形及兩個矩形,試比較兩個小正方形面積之和M與兩個矩形面積之和N的大。
解:由圖可知:M=a2+b2,N=2ab.
∴M-N=a2+b2-2ab=(a-b)2
∵a≠b,∴(a-b)2>0.
∴M-N>0.
∴M>N.
類比應用
(1)已知:多項式M=2a2-a+1,N=a2-2a.試比較M與N的大。
(2)已知:如圖2,銳角△ABC (其中BC為a,AC為b,AB為c)三邊滿足a<b<c,現(xiàn)將△ABC 補成長方形,使得△ABC的兩個頂
點為長方形的兩個端點,第三個頂點落在長方形的這一邊的對邊上.
①這樣的長方形可以畫
3
3
個;
②所畫的長方形中哪個周長最小?為什么?
拓展延伸
已知:如圖3,銳角△ABC(其中BC為a,AC為b,AB為c)三邊滿足a<b<c,畫其BC邊上的內(nèi)接正方形EFGH,使E、F兩點在邊BC上,G、H分別在邊AC、AB上,同樣還可畫AC、AB邊上的內(nèi)接正方形,問哪條邊上的內(nèi)接正方形面積最大?為什么?

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

(10分)

問題提出

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∴M-N=a2+b2-2ab=(a-b)2

∵a≠b,∴(a-b)2>0.

∴M-N>0.

∴M>N.

類別應用

(1)已知小麗和小穎購買同一種商品的平均價格分別為元/千克和元/千克(a、b是正數(shù),且a≠b),試比較小麗和小穎所購買商品的平均價格的高低.

 (2)試比較圖2和圖3中兩個矩形周長M1、N1的大小(b>c).

 

 

 

 

 

 

 

聯(lián)系拓廣

小剛在超市里買了一些物品,用一個長方體的箱子“打包”,這個箱子的尺寸如圖4所示(其中b>a>c>0),售貨員分別可按圖5、圖6、圖7三種方法進行捆綁,吻哪種方法用繩最短?哪種方法用繩最長?請說明理由.

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科目:初中數(shù)學 來源:2011-2012學年江蘇鹽城鹽都區(qū)九年級下學期期中質(zhì)量檢測數(shù)學試卷(解析版). 題型:解答題

問題提出

我們在分析解決某些數(shù)學問題時,經(jīng)常要比較兩個數(shù)或代數(shù)式的大小,而解決問題的策略一般要進行一定的轉(zhuǎn)化,其中“作差法”就是常用的方法之一.所謂“作差法”:就是通過作差、變形,并利用差的符號確定他們的大小,即要比較代數(shù)式M、N的大小,只要作出它們的差M-N,若M-N>0,則M>N;若M-N=0,則M=N;若M-N<0,則M<N.

問題解決

如圖1,把邊長為a+b(a≠b)的大正方形分割成兩個邊長分別是a、b的小正方形及兩個矩形,試比較兩個小正方形面積之和M與兩個矩形面積之和N的大小.

解:由圖可知:M=a2+b2,N=2ab.

∴M-N=a2+b2-2ab=(a-b)2

∵a≠b,∴(a-b)2>0.

∴M-N>0.

∴M>N.

類比應用

1.已知:多項式M =2a2-a+1 ,N =a2-2a .試比較M與N的大。

2.已知:如圖,銳角△ABC (其中BC為a,AC為b,AB為c)三邊

滿足a <b < c ,現(xiàn)將△ABC 補成長方形,使得△ABC的兩個頂

點為長方形的兩個端點,第三個頂點落在長方形的這一邊的對邊上。                     

      ①這樣的長方形可以畫        個;

②所畫的長方形中哪個周長最?為什么?

拓展延伸                                                                                                                               

     已知:如圖,銳角△ABC (其中BC為a,AC為b,AB為c)三邊滿足a <b < c ,畫其BC邊上的內(nèi)接正方形EFGH , 使E、F兩點在邊BC上,G、H分別在邊AC、AB上,同樣還可畫AC、AB邊上的內(nèi)接正方形,問哪條邊上的內(nèi)接正方形面積最大?為什么?

 

 

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