Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB與x軸交于點(diǎn)B、與y軸交于點(diǎn)A，與反比例函數(shù)y= 的圖象在第二象限交于C，CE⊥x軸，垂足為點(diǎn)E，tan∠ABO= ，OB=4，OE=2．

（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）若點(diǎn)D是反比例函數(shù)圖象在第四象限內(nèi)的點(diǎn)，過點(diǎn)D作DF⊥y軸，垂足為點(diǎn)F，連接OD、BF．如果S△BAF=4S△DFO ， 求點(diǎn)D的坐標(biāo)．
（3）若動點(diǎn)D在反比例函數(shù)圖象的第四象限上運(yùn)動，當(dāng)線段DC與線段DB之差達(dá)到最大時，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵tan∠ABO= ，

∴ = ，且OB=4，

∴OA=2，

∵CE⊥x軸，即CE∥AO，

∴△AOB∽△CEB，

∴ = ，即 = ，解得CE=3，

∴C（﹣2，3），

∴m=﹣2×3=﹣6，

∴反比例函數(shù)解析式為y=﹣

（2）

解：設(shè)D（x，﹣ ），

∵D在第四象限，

∴DF=x，OF= ，

∴S△DFO= DFOF= x× =3，

由（1）可知OA=2，

∴AF=x+ ，

∴S△BAF= AFOB= （x+ ）×4=2（x+ ），

∵S△BAF=4S△DFO，

∴2（x+ ）=4×3，解得x=3+ 或x=3﹣ ，

當(dāng)x=3+ 時，﹣ 的值為3﹣ ，

當(dāng)x=3﹣ 時，﹣ 的值為3+ ，

∵D在第四象限，

∴x=3﹣ 不合題意，舍去，

∴D（3+ ，3﹣ ）

（3）

解：∵D在第四象限，

∴在△BCD中，由三角形三邊關(guān)系可知CD﹣CB≤BC，即當(dāng)B、C、D三點(diǎn)共線時，其差最大，

設(shè)直線AB解析式為y=kx+b，

由題意可得 ，解得 ，

∴直線AB解析式為y=﹣ x+2，

聯(lián)立直線AB和反比例函數(shù)解析式可得 ，解得 或 （舍去），

∴D（6，﹣1），

即當(dāng)線段DC與線段DB之差達(dá)到最大時求點(diǎn)D的坐標(biāo)為（6，﹣1）

【解析】（1）由條件可求得OA，由△AOB∽△CEB可求得CE，則可求得C點(diǎn)坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)解析式可求得m的值，可求得反比例函數(shù)解析式；（2）設(shè)出D的坐標(biāo)，從而可分別表示出△BAF和△DFO的面積，由條件可列出方程，從而可求得D點(diǎn)坐標(biāo)；（3）在△BCD中，由三角形三邊關(guān)系可知CD﹣CB≤BC，當(dāng)B、C、D三點(diǎn)共線時，其差最大，聯(lián)立直線BC與反比例函數(shù)解析式可求得D點(diǎn)坐標(biāo)．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解反比例函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識，掌握性質(zhì):當(dāng)k＞0時雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每個象限內(nèi)y值隨x值的增大而減小； 當(dāng)k＜0時雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每個象限內(nèi)y值隨x值的增大而增大，以及對三角形三邊關(guān)系的理解，了解三角形兩邊之和大于第三邊；三角形兩邊之差小于第三邊；不符合定理的三條線段，不能組成三角形的三邊．