Question

已知等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，P為斜邊AB上一點，Q為直線BC上一點，且PC=PQ，若BQ=2，則AP的長度為________．

Answer 1

3或
分析：根據(jù)題意畫出圖形，求出AB，過P作PM⊥BC于M，求出PM=BM，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出CM=MQ，根據(jù)已知得出關(guān)于BM的方程，求出BM、PM長，根據(jù)勾股定理求出BP，即可求出答案．
解答：在△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC=4，由勾股定理得：AB==4，
過P作PM⊥BC于M，
則∠PMB=90°，
∵△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠ABC=45°，
∴∠BPM=45°=∠ABC，
∴PM=BM，
∵PC=PQ，PM⊥BC，
∴CM=MQ，
分為兩種情況：
①如圖1，Q在線段BC上時，
∵CM=MQ，BC=4，BQ=2，
∴CM=4-BM，MQ=BM-2，
即4-BM=BM-2，
∴BM=3，
在Rt△BMP中，BM=PM=3，由勾股定理得：BP==3，
∴AP=4-3=．
②如圖2，Q在CB延長線時時，
∵CM=MQ，
∴4-BM=BM+2，
∴BM=1，
Rt△BMP中，BM=PM=1，由勾股定理得：BP==，
∴AP=4-=3．
故答案為：3或．
點評：本題考查了等腰直角三角形性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出BP長，注意有兩種情況．