Question

已知直線y=x+3與x軸、y軸分別交于A，B點，與y=

k

x

（x＜0）的圖象交于C、D點，E是點C關于點A的中心對稱點，EF⊥OA于F，若△AOD的面積與△AEF的面積之和為

7

2

時，則k=

 

．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題

專題：

分析：先求出A、B兩個點的坐標，再設C點的坐標為（x₁，x₁+3），D點的坐標為（x₂，x₂+3）（x₁＜x₂），聯(lián)立y=x+3與y=

k

x

，則x₁、x₂是一元二次方程x²+3x-k=0的兩個根，根據(jù)方程根的定義及一元二次方程根與系數(shù)的關系，并結(jié)合已知面積的條件即可求出k的值．

解答：解：∵直線y=x+3與x軸、y軸分別交于A、B點，
∴A（-3，0），B（0，3）．
把y=x+3代入y=

k

x

，整理，得x²+3x-k=0．
設C點的坐標為（x₁，x₁+3），D點的坐標為（x₂，x₂+3）（x₁＜x₂），
則x₁、x₂是一元二次方程x²+3x-k=0的兩個根，
∴x₁+x₂=-3，x₁²+3x₁-k=0  ①．
∵△AOD的面積+△AEF的面積=

7

2

，
∴

1

2

×3×（x₂+3）+

1

2

（3+x₁）（x₁+3）=

7

2

，
∴3x₂+9+x₁²+6x₁+9=7，
將①代入上式，得k+9=7，
∴k=-2，
故答案為：-2．

點評：本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點、方程根的定義、一元二次方程根與系數(shù)的關系及三角形的面積公式，綜合性較強，難度中等．