【題目】如圖,已知⊙O的半徑為2,AB為直徑,CD為弦.AB與CD交于點M,將 沿CD翻折后,點A與圓心O重合,延長OA至P,使AP=OA,連接PC.
(1)求CD的長;
(2)求證:PC是⊙O的切線;
(3)點G為 的中點,在PC延長線上有一動點Q,連接QG交AB于點E.交 于點F(F與B、C不重合).問GEGF是否為定值?如果是,求出該定值;如果不是,請說明理由.
【答案】
(1)
解:如圖,
連接OC,
∵ 沿CD翻折后,點A與圓心O重合,
∴OM= OA= ×2=1,CD⊥OA,
∵OC=2,
∴CD=2CM=2 =2 =2 .
(2)
證明:∵PA=OA=2,AM=OM=1,CM= CD= ,∠CMP=∠OMC=90°,
∴PC= = =2 ,
∵OC=2,PO=2+2=4,
∴PC2+OC2=(2 )2+22=16=PO2,
∴∠PCO=90°,
∴PC是⊙O的切線.
(3)
解:GEGF是定值,證明如下:如圖 ,
連接GA、AF、GB,
∵點G為 的中點,∴ = ,
∴∠BAG=∠AFG,
又∵∠AGE=∠FGA,
∴△AGE∽△FGA,
∴ = ,
∴GEGF=AG2,
∵AB為直徑,AB=4,
∴∠BAG=∠ABG=45°,
∴AG=2 ,
∴GEGF=8.
【解析】(1)連接OC,根據(jù)翻折的性質(zhì)求出OM,CD⊥OA,再利用勾股定理列式求解即可;
。2)利用勾股定理列式求出PC,然后利用勾股定理逆定理求出∠PCO=90°,再根據(jù)圓的切線的定義證明即可;
。3)連接GA、AF、GB,根據(jù)等弧所對的圓周角相等可得∠BAG=∠AFG,然后根據(jù)兩組角對應(yīng)相等兩三角相似求出△AGE和△FGA相似,根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例可得 = ,從而得到GEGF=AG2 , 再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求解即可. 本題是圓的綜合題型,主要利用了翻折變換的性質(zhì),垂徑定理,勾股定理,勾股定理逆定理,圓的切線的定義,相似三角形的判定與性質(zhì),難點在于(3)作輔助線構(gòu)造出相似三角形.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖.在數(shù)學(xué)活動課中,小明剪了一張△ABC的紙片,其中∠A=60°,他將△ABC折疊壓平使點A落在點B處,折痕DE,D在AB上,E在AC上.
(1)請作出折痕DE;(要求:尺規(guī)作圖,不寫作法,保留作圖痕跡)
(2)判斷△ABE的形狀并說明;
(3)若AE=5,△BCE的周長為12,求△ABC的周長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】△ABC的頂點坐標(biāo)為A(﹣2,3)、B(﹣3,1)、C(﹣1,2),以坐標(biāo)原點O為旋轉(zhuǎn)中心,順時針旋轉(zhuǎn)90°,得到△A′B′C′,點B′、C′分別是點B、C的對應(yīng)點.
(1)求過點B′的反比例函數(shù)解析式;
(2)求線段CC′的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知正方形ABCD的邊長為10厘米,點E在邊AB上,且AE=4厘米,如果點P在線段BC上以2厘米/秒的速度由B點向C點運動,同時,點Q在線段CD上由C點向D點運動.設(shè)運動時間為t秒.
(1)若點Q的運動速度與點P的運動速度相等,經(jīng)過2秒后,△BPE與△CQP是否全等?請說明理由;
(2)若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等,則當(dāng)t為何值時,能夠使△BPE與△CQP全等;此時點Q的運動速度為多少.
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【題目】如圖,ABC是等邊三角形,點D是線段AC上的一動點,E在BC的延長線上,且BD=DE.
(1)如圖,若點D為線段AC的中點,求證:AD=CE;
(2)如圖,若點D為線段AC上任意一點,求證:AD=CE.
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【題目】如圖在△ABC中,AB=AC=9,∠BAC=120°,AD是△ABC的中線,AE是∠BAD的角平分線,DF∥AB交AE的延長線于點F,求DF的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校在基地參加社會實踐話動中,帶隊老師考問學(xué)生:基地計劃新建一個矩形的生物園地,一邊靠舊墻(墻足夠長),另外三邊用總長37米的不銹鋼柵欄圍成,與墻平行的一邊留一個寬為3米的出入口,如圖所示,如何設(shè)計才能使園地的面積最大?如圖是兩位學(xué)生爭議的情境:請根據(jù)上面的信息,解決問題:
(1)設(shè)AB=x米(x>0),試用含x的代數(shù)式表示BC的長;
(2)請你判斷誰的說法正確,為什么?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=﹣x2+mx+n與x軸交于A,B兩點,y與軸交于點C,拋物線的對稱軸交x軸于點D.已知A(﹣1,0),C(0,3)
(1)求拋物線的解析式;
(2)在拋物線的對稱軸上是否存在P點,使△PCD是以CD為腰的等腰三角形,如果存在,直接寫出點P的坐標(biāo),如果不存在,請說明理由;
(3)點E是線段BC上的一個動點,過點E作x軸的垂線與拋物線相交于點F,
①求直線BC 的解析式;
②當(dāng)點E運動到什么位置時,四邊形CDBF的面積最大?求四邊形CDBF的最大面積及此時點E的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,某拋物線的對稱軸為直線x=2,點E是該拋物線頂點,拋物線與y軸交于點C,過點C作CD∥x軸,與拋物線交于點B,與對稱軸交于點D,點A是對稱軸上一點,連結(jié)AC,AB,若△ABC是等邊三角形,則圖中陰影部分圖形的面積之和是 .
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