【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,點(diǎn)P為AC邊上的一點(diǎn),將線段AP繞點(diǎn)A順時針方向旋轉(zhuǎn)(點(diǎn)P對應(yīng)點(diǎn)P′),當(dāng)AP旋轉(zhuǎn)至AP′⊥AB時,點(diǎn)B、P、P′恰好在同一直線上,此時作P′E⊥AC于點(diǎn)E.
(1)求證:∠CBP=∠ABP;
(2)若AB-BC=4,AC=8,求AE的長;
(3)當(dāng)∠ABC=60°,BC=2時,點(diǎn)N為BC的中點(diǎn),點(diǎn)M為邊BP上一個動點(diǎn),連接MC,MN,求MC+MN的最小值.
【答案】(1)見解析;(2)3;(3).
【解析】
(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AP=AP′,根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)可得∠APP′=∠AP′P,再根據(jù)等角的余角相等證明即可;
(2)過點(diǎn)P作PD⊥AB于D,根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得CP=DP,然后求出∠PAD=∠AP′E,利用“角角邊”證明△APD和△P′AE全等,根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AE=DP,然后求得AE的長即可;
(3)由題意得:點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于BP′對稱,連接DN,求得DN的長即可求得MC+MN的最小值;
(1)證明:∵AP′是AP旋轉(zhuǎn)得到,
∴AP=AP′,
∴∠APP′=∠AP′P,
∵∠C=90°,AP′⊥AB,
∴∠CBP+∠BPC=90°,∠ABP+∠AP′P=90°,
又∵∠BPC=∠APP′(對頂角相等),
∴∠CBP=∠ABP;
(2)如圖,過點(diǎn)P作PD⊥AB于D,
∵∠CBP=∠ABP,∠C=90°,
∴CP=DP,
∵P′E⊥AC,
∴∠EAP′+∠AP′E=90°,
又∵∠PAD+∠EAP′=90°,
∴∠PAD=∠AP′E,
在△APD和△P′AE中, ,
∴△APD≌△P′AE(AAS),
∴AE=DP,
∴AE=CP,
∵AB-BC=4,AC=8,
∴AB=10,BC=6,
設(shè)PC=PD=x,則AD=10-6=4,PA=8-x,
在Rt△PDA中,x2+42=(8-x)2,
解得x=3,
∴AE=CP=3;
(3)由題意得:點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于BP′對稱,連接DN,
∵∠ABC=60°,BC=BD,
∴△BCD為等邊三角形,
又∵點(diǎn)N為BC的中點(diǎn),
∴DN⊥BC,
∵BC=BD=2,
∴BN=1,
∴DN=,
∴MC+MN的最小值為.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知在以點(diǎn)O為圓心的兩個同心圓中,大圓的弦AB交小圓于點(diǎn)C,D(如圖).
(1)求證:AC=BD;
(2)若大圓的半徑R=10,小圓的半徑r=8,且圓O到直線AB的距離為6,求AC的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,對于拋物線,下列說法中錯誤的是( )
A.y的最小值為1
B.圖象頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,1),對稱軸為直線x=2
C.當(dāng)x<2時,y的值隨x值的增大而增大,當(dāng)x>2時,y的值隨x值的增大而減小
D.它的圖象可以由的圖象向右平移2個單位長度,再向上平移1個單位長度得到
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn),
為定點(diǎn),定直線
,
是
上一動點(diǎn),點(diǎn)
,
分別為
,
的中點(diǎn),對下列各值:
①線段的長;②
的面積;③
的周長;④直線
,
之間的距離;⑤
的大小,其中會隨點(diǎn)
的移動而變化的是( )
A.②③B.②⑤C.③⑤D.④⑤
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,正方形ABCD中,AB=8,BE=DF=1,M是射線AD上的動點(diǎn),點(diǎn)A關(guān)于直線EM的對稱點(diǎn)為A′,當(dāng)△A′FC為以FC為直角邊的直角三角形時,對應(yīng)的MA的長為___________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠ABC=90° ,AB=8,AC=10.點(diǎn)P以每秒1個單位長度的速度從A向B運(yùn)動;同時點(diǎn)Q以每秒2個單位的速度從C向A運(yùn)動.當(dāng)其中一個點(diǎn)到達(dá)時,另一個點(diǎn)也隨即停止運(yùn)動,從出發(fā)開始___秒時,△APQ與△ABC相似.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】請僅用無刻度的直尺分別按下列要求畫圖(保留畫圖痕跡).
(1)如圖1,拋物線l與x軸交于A,B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,CD∥x軸交拋物線于點(diǎn)D,作出拋物線的對稱軸EF;
(2)如圖2,拋物線l1,l2交于點(diǎn)P且關(guān)于直線MN對稱,兩拋物線分別交x軸于點(diǎn)A,B和點(diǎn)C,D,作出直線MN .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某地特產(chǎn)檳榔芋深受歡迎,某商場以7元/千克收購了3000千克優(yōu)質(zhì)檳榔芋,若現(xiàn)在馬上出售,每千克可獲得利潤3元.根據(jù)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn),近段時間內(nèi)檳榔芋的售價每天上漲0.2元/千克,為了獲得更大利潤,商家決定先貯藏一段時間后再出售.根據(jù)以往經(jīng)驗,這批檳榔芋的貯藏時間不宜超過100天,在貯藏過程中平均每天損耗約10千克.
(1)若商家將這批檳榔芋貯藏x天后一次性出售,請完成下列表格:
每千克檳榔芋售價(單位:元) | 可供出售的檳榔芋重量(單位:千克) | |
現(xiàn)在出售 | 3000 | |
x天后出售 |
(2)將這批檳榔芋貯藏多少天后一次性出售最終可獲得最大利潤?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)O為等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn),連接OA,OB,OC,將線段BO繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)60°到BM,連接CM,OM.
(1)求證:AO=CM;
(2)若OA=8,OC=6,OB=10,判斷△OMC的形狀并證明.
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