【題目】如圖,在RtABC中,∠C=90°,點(diǎn)PAC邊上的一點(diǎn),將線段AP繞點(diǎn)A順時針方向旋轉(zhuǎn)(點(diǎn)P對應(yīng)點(diǎn)P′),當(dāng)AP旋轉(zhuǎn)至AP′AB時,點(diǎn)B、P、P′恰好在同一直線上,此時作P′EAC于點(diǎn)E

1)求證:∠CBP=ABP;
2)若AB-BC=4,AC=8,求AE的長;
3)當(dāng)∠ABC=60°BC=2時,點(diǎn)NBC的中點(diǎn),點(diǎn)M為邊BP上一個動點(diǎn),連接MCMN,求MC+MN的最小值.

【答案】(1)見解析;(2)3;(3).

【解析】

1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AP=AP′,根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)可得∠APP′=AP′P,再根據(jù)等角的余角相等證明即可;
2)過點(diǎn)PPDABD,根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得CP=DP,然后求出∠PAD=AP′E,利用角角邊證明APDP′AE全等,根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AE=DP,然后求得AE的長即可;
3)由題意得:點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于BP′對稱,連接DN,求得DN的長即可求得MC+MN的最小值;

1)證明:∵AP′AP旋轉(zhuǎn)得到,
AP=AP′
∴∠APP′=AP′P,
∵∠C=90°AP′AB,
∴∠CBP+BPC=90°,∠ABP+AP′P=90°
又∵∠BPC=APP′(對頂角相等),
∴∠CBP=ABP;
2)如圖,過點(diǎn)PPDABD
∵∠CBP=ABP,∠C=90°
CP=DP,
P′EAC
∴∠EAP′+AP′E=90°,
又∵∠PAD+EAP′=90°
∴∠PAD=AP′E,


APDP′AE中,
,
∴△APD≌△P′AEAAS),
AE=DP
AE=CP,
AB-BC=4AC=8,
AB=10,BC=6,
設(shè)PC=PD=x,則AD=10-6=4PA=8-x,
RtPDA中,x2+42=8-x2
解得x=3,
AE=CP=3
3)由題意得:點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于BP′對稱,連接DN,
∵∠ABC=60°,BC=BD
∴△BCD為等邊三角形,
又∵點(diǎn)NBC的中點(diǎn),
DNBC,
BC=BD=2,
BN=1
DN=,
MC+MN的最小值為

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C.當(dāng)x2時,y的值隨x值的增大而增大,當(dāng)x2時,y的值隨x值的增大而減小

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2)如圖2,拋物線l1l2交于點(diǎn)P且關(guān)于直線MN對稱,兩拋物線分別交x軸于點(diǎn)AB和點(diǎn)C,D,作出直線MN .

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1)若商家將這批檳榔芋貯藏x天后一次性出售,請完成下列表格:

每千克檳榔芋售價(單位:元)

可供出售的檳榔芋重量(單位:千克)

現(xiàn)在出售

3000

x天后出售

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1)求證:AOCM;

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