Question

（2007•寧波）四邊形一條對角線所在直線上的點，如果到這條對角線的兩端點的距離不相等，但到另一對角線的兩個端點的距離相等，則稱這點為這個四邊形的準等距點．如圖1，點P為四邊形ABCD對角線AC所在直線上的一點，PD=PB，PA≠PC，則點P為四邊形ABCD的準等距點．
（1）如圖2，畫出菱形ABCD的一個準等距點．
（2）如圖3，作出四邊形ABCD的一個準等距點．（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不要求寫作法）
（3）如圖4，在四邊形ABCD中，P是AC上的點，PA≠PC，延長BP交CD于點E，延長DP交BC于點F，且∠CDF=∠CBE，CE=CF．試說明點P是四邊形ABCD的準等距點．
（4）試研究四邊形的準等距點個數(shù)的情況．（說出相應四邊形的特征及此時準等距點的個數(shù)，不必證明）

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)菱形的對角線互相垂直平分，根據(jù)線段垂直平分線的性質，則只需要在其中一條對角線上找到和對角線的交點不重合的點即可；
（2）根據(jù)到線段兩個端點距離相等的點在線段的垂直平分線上，則可作對角線BD的垂直平分線和另一條對角線所在的直線的交點即為所求作；
（3）只需說明PD=PB即可．根據(jù)已知的條件可以根據(jù)AAS證明△DCF≌△BCE，則∠CDB=∠CBD，進而得到∠PDB=∠PBD，證明結論即可；
（4）根據(jù)上述確定準等距點的方法：即作其中一條對角線的垂直平分線和另一條對角線所在的直線的交點．所以分析討論的時候，主要是根據(jù)兩條對角線的位置關系進行分析討論．
解答：解：（1）如圖2，點P即為所畫點；（1分）

（2）如圖3，點P即為所作點（作法不唯一）；（2分）

（3）連接DB．
在△DCF與△BCE中，∠DCF=∠BCE，∠CDF=∠CBE，CF=CE．
∴△DCF≌△BCE（AAS），
∴CD=CB，
∴∠CDB=∠CBD，
∴∠PDB=∠PBD，
∴PD=PB，
∵PA≠PC，
∴點P是四邊形ABCD的準等距點．（4分）

（4）①當四邊形的對角線互相垂直且任何一條對角線不平分另一對角線或者對角線互相平分且不垂直時，準等距點的個數(shù)為0個；
②當四邊形的對角線不互相垂直，又不互相平分，且有一條對角線的中垂線經(jīng)過另一對角線的中點時，準等距點的個數(shù)為1個；
③當四邊形的對角線既不互相垂直又不互相平分，且任何一條對角線的中垂線都不經(jīng)過另一條對角線的中點時，準等距點的個數(shù)為2個；
④四邊形的對角線互相垂直且至少有一條對角線平分另一對角線時，準等距點有無數(shù)個．（7分）
點評：關鍵是熟悉菱形的性質，能夠根據(jù)線段垂直平分線的性質的逆定理進行分析作圖，能夠根據(jù)找準等距點的方和四邊形中兩條對角線的位置關系判斷準等距點的個數(shù)．