Question

已知二次函數(shù)y=4x²+bx+

1

16

（b²+b），b取任何實數(shù)時，它的圖象都是一條拋物線．
（1）現(xiàn)在有如下兩種說法：
①b取任何不同的數(shù)值時，所對應(yīng)的拋物線都有著完全相同的形狀；
②b取任何不同的數(shù)值時，所對應(yīng)的拋物線都有著不相同的形狀．
你認為哪一種說法正確，為什么？
（2）若b=-1，b=2時對應(yīng)的拋物線的頂點分別為A，B，請你求出直線AB的解析式；
（3）在（2）中所確定的直線AB上有一點C，且點C的縱坐標(biāo)為-1，問：在x軸上是否存在點D使△COD為等腰三角形？若存在，直接寫出點D的坐標(biāo)；若不存在，簡單說明理由．

Answer 1

分析：（1）由于拋物線的形狀只與拋物線的二次項系數(shù)有關(guān)，顯然①的說法是正確的．
（2）將b=-1、b=2分別代入拋物線的解析式中，用配方法求出兩條拋物線的頂點坐標(biāo)，也就得到了A、B點的坐標(biāo)，從而利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式．
（3）根據(jù)（2）題得到的直線AB的解析式，可確定點C的坐標(biāo)；由于△COD的腰和底不確定，分：①OC=OD、②OC=CD、③OD=CD三種情況討論即可．

解答：解：（1）拋物線的開口方向和形狀只與二次項系數(shù)有關(guān)，與一次項系數(shù)和常數(shù)項無關(guān)，
故①的說明是正確的．

（2）當(dāng)b=-1時，y=4x²-x=4（x-

1

8

）²-

1

16

，
故A（

1

8

，-

1

16

）；
當(dāng)b=2時，y=4x²+2x+

3

8

=4（x+

1

4

）²+

1

8

，
故B（-

1

4

，

1

8

）；
設(shè)直線AB的解析式為：y=kx+b，則有：

1 8 k+b=- 1 16 - 1 4 k+b= 1 8

，
解得

k=- 1 2 b=0

，
故直線AB的解析式為：y=-

1

2

x．

（3）當(dāng)y=-1時，-1=-

1

2

x，x=2，
故C（2，-1）；
可得OC=

5

；
若△COD是等腰三角形，則有：
①OC=OD，則OD=

5

；
∴D₁（-

5

，0），D₂（

5

，0）；
②OC=CD；
根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)知：C點位于OD的垂直平分線上，
故D₃（4，0）；
③OD=CD；
此時D位于OC的垂直平分線上，則∠OCD₄=∠OD₃C=∠COD₄，
則△OD₄C∽△OCD₃，得OC₂=OD₄•OD₃，
由于OC=

5

，OD₃=4，
可求得OD₄=

5

4

，
故D₄（

5

4

，0）；
綜上所述，存在4個符合條件的D點，它們的坐標(biāo)為：D₁（-

5

，0），D₂（

5

，0），D₃（4，0），D₄（

5

4

，0）．

點評：此題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系、函數(shù)解析式的確定、等腰三角形的構(gòu)成情況等知識點；（3）題中，由于等腰三角形的腰和底不確定，一定要分類討論，以免漏解．