Question

如圖，A（-5，0），B（-3，0），點(diǎn)C在y軸的正半軸上，∠CBO=45°，CD∥AB．∠CDA=90°．點(diǎn)P從點(diǎn)Q（4，0）出發(fā)，沿x軸向左以每秒1個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)時(shí)間t秒．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)∠BCP=15°時(shí)，求t的值；
（3）以點(diǎn)P為圓心，PC為半徑的⊙P隨點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而變化，當(dāng)⊙P與四邊形ABCD的邊（或邊所在的直線）相切時(shí)，求t的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由∠CBO=45°，∠BOC為直角，得到△BOC為等腰直角三角形，又OB=3，利用等腰直角三角形AOB的性質(zhì)知OC=OB=3，然后由點(diǎn)C在y軸的正半軸可以確定點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）需要對點(diǎn)P的位置進(jìn)行分類討論：①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，如圖2所示，由∠BCO=45°，用∠BCO-∠BCP求出∠PCO為30°，又OC=3，在Rt△POC中，利用銳角三角函數(shù)定義及特殊角的三角函數(shù)值求出OP的長，由PQ=OQ+OP求出運(yùn)動(dòng)的總路程，由速度為1個(gè)單位/秒，即可求出此時(shí)的時(shí)間t；②當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，如圖3所示，用∠BCO+∠BCP求出∠PCO為60°，又OC=3，在Rt△POC中，利用銳角三角函數(shù)定義及特殊角的三角函數(shù)值求出OP的長，由PQ=OQ+OP求出運(yùn)動(dòng)的總路程，由速度為1個(gè)單位/秒，即可求出此時(shí)的時(shí)間t；
（3）當(dāng)⊙P與四邊形ABCD的邊（或邊所在的直線）相切時(shí)，分三種情況考慮：
①當(dāng)⊙P與BC邊相切時(shí)，利用切線的性質(zhì)得到BC垂直于CP，可得出∠BCP=90°，由∠BCO=45°，得到∠OCP=45°，即此時(shí)△COP為等腰直角三角形，可得出OP=OC，由OC=3，得到OP=3，用OQ-OP求出P運(yùn)動(dòng)的路程，即可得出此時(shí)的時(shí)間t；
②當(dāng)⊙P與CD相切于點(diǎn)C時(shí)，P與O重合，可得出P運(yùn)動(dòng)的路程為OQ的長，求出此時(shí)的時(shí)間t；
③當(dāng)⊙P與CD相切時(shí)，利用切線的性質(zhì)得到∠DAO=90°，得到此時(shí)A為切點(diǎn)，由PC=PA，且PA=9-t，PO=t-4，在Rt△OCP中，利用勾股定理列出關(guān)于t的方程，求出方程的解得到此時(shí)的時(shí)間t．
綜上，得到所有滿足題意的時(shí)間t的值．
解答：解：（1）∵∠BCO=∠CBO=45°，
∴OC=OB=3，
又∵點(diǎn)C在y軸的正半軸上，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3）；

（2）分兩種情況考慮：
①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，如圖2，
若∠BCP=15°，得∠PCO=30°，
故PO=CO•tan30°=，此時(shí)t=4+；
②當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，如圖3，
由∠BCP=15°，得∠PCO=60°，
故OP=COtan60°=3，
此時(shí)，t=4+3，
∴t的值為4+或4+3；

（3）由題意知，若⊙P與四邊形ABCD的邊相切時(shí)，有以下三種情況：
①當(dāng)⊙P與BC相切于點(diǎn)C時(shí)，有∠BCP=90°，

從而∠OCP=45°，得到OP=3，此時(shí)t=1；
②當(dāng)⊙P與CD相切于點(diǎn)C時(shí)，有PC⊥CD，即點(diǎn)P與點(diǎn)O重合，此時(shí)t=4；

③當(dāng)⊙P與AD相切時(shí)，由題意，得∠DAO=90°，

∴點(diǎn)A為切點(diǎn)，如圖4，PC²=PA²=（9-t）²，PO²=（t-4）²，
于是（9-t）²=（t-4）²+3²，即81-18t+t²=t²-8t+16+9，
解得：t=5.6，
∴t的值為1或4或5.6．
點(diǎn)評：此題考查了切線的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，利用了數(shù)形結(jié)合及分類討論的思想，熟練掌握切線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．