Question

已知：如圖，P是正方形ABCD內點，∠PAD=∠PDA=15°．求證：△PBC是正三角形．（初二）

Answer 1

分析：在正方形內做△DGC與△ADP全等，根據全等三角形的性質求出△PDG為等邊，三角形，根據SAS證出△DGC≌△PGC，推出DC=PC，推出PB=DC=PC，根據等邊三角形的判定求出即可．

解答：證明：
∵正方形ABCD，
∴AB=CD，∠BAD=∠CDA=90°，
∵∠PAD=∠PDA=15°，
∴PA=PD，∠PAB=∠PDC=75°，
在正方形內做△DGC與△ADP全等，
∴DP=DG，∠ADP=∠GDC=∠DAP=∠DCG=15°，
∴∠PDG=90°-15°-15°=60°，
∴△PDG為等邊三角形（有一個角等于60度的等腰三角形是等邊三角形），
∴DP=DG=PG，
∵∠DGC=180°-15°-15°=150°，
∴∠PGC=360°-150°-60°=150°=∠DGC，
在△DGC和△PGC中

DG=PG ∠DGC=∠PGC GC=GC

，
∴△DGC≌△PGC，
∴PC=AD=DC，和∠DCG=∠PCG=15°，
同理PB=AB=DC=PC，
∠PCB=90°-15°-15°=60°，
∴△PBC是正三角形．

點評：本題考查了正方形的性質，等邊三角形的性質和判定，全等三角形的性質和判定等知識點的應用，關鍵是正確作出輔助線，又是難點，題型較好，但有一定的難度，對學生提出了較高的要求．